[Кафедра математического анализа]

Система Радемахера: основное. Система Радемахера как система независимых функций.

Неравенства Хинчина для системы Радемахера.

Сходимость и расходимость рядов по системе Радемахера почти всюду, по мере и в интегральных метриках.

Применения системы Радемахера в задачах анализа и теории вероятностей. Теорема Бореля об асимптотической равномерности распределения нулей и единиц у разложении почти всех чисел в двоичную дробь. Понятие о случайных рядах. Числовые ряды со случайной расстановкой знаков, их сходимость. Свойства простейшего случайного блуждания.

Система функций Уолша. Ортонормированность и полнота системы Уолша. Ряды Фурье по системе Уолша. Простейшие теоремы о сходимости таких рядов.

Примеры функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях.
Интегрирование вектор-функций со значениями в банаховом и в гильбертовом пространстве. Интеграл Бохнера. Пространства интегрируемых функций.
Преобразование Лапласа и его свойства. Пространства Харди. Теорема Пэли- Винера.
Пространства Соболева вектор-функций и их свойства.
Аналитические вектор-функции и оператор-функции и их свойства.
Полугруппы операторов. Сильно непрерывные полугруппы и их свойства. Примеры.
Аналитические и сжимающие полугруппы и их свойства. Примеры.
Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Результаты об их корректной разрешимости в пространствах Соболева вектор-функций и оценки решений.
Интегро-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве и их символы.
Оценки символов интегро-дифференциальных уравнений в правой комплексной полуплоскости. Результаты о корректной разрешимости интегро-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева вектор-функций и оценки их решений.
Спектральный анализ и представления решений интегро-дифференциальных уравнений с ядрами интегральных операторов, представимых в виде сумм убывающих экспонент с положительными коэффициентами.
Спектральный анализ и представления решений интегро-дифференциальных уравнений с ядрами интегральных операторов, представимых интегралами Стилтьеса от экспоненты по положительной мере.
Функции Работнова и их свойства. Спектральный анализ и представления решений интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости, с ядрами интегральных операторов, представимых в виде сумм функций Работнова с положительными коэффициентами.
Применение теории полугрупп операторов к исследованию интегро-дифференциальных уравнений.
Базисы в гильбертовом пространстве. Базисы Рисса и их свойства.
Базисы Рисса из подпространств и их свойства.
Теоремы о полноте и базисности Рисса системы корневых подпространств генераторов полугрупп, порождаемых интегро-дифференциальными уравнениями.
Представления решений интегро-дифференциальных уравнений с двумя неограниченными некоммутирующими операторами, возникающих в теории вязкоупругости.

Задача о длине лемнискаты многочлена
Задача о выпуклости лемнискаты многочлена
Приближение кривых лемнискатами многочленов

Оператор Штурма-Лиувилля с дельта взаимодействием.
Построение решений оператора Штурма-Лиувилля.
Распределение спектра оператора Штурма-Лиувилля, возмущённого дельта-функцией Дирака.
Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля, возмущённого дельта-функцией Дирака.
Оценки снизу для первого собственного значения операторов Эйри и Вебера с точечным взаимодействием.
Спектральная функция оператора Шрёдингера с точечным взаимодействием.
Формулы квантования собственных значений оператора Шрёдингера в случае степенного роста потенциала.
Асимптотика собственных значений в случае степенного роста потенциала.

Спектральная задача Штурма –Лиувилля на полуоси.
Круг и точка Вейля.
Функция Вейля – Титчмарша.
Интегральное представление резольвенты оператора Штурма-Лиувилля.
Функция Грина.
Спектральная функция, разложение по собственным функциям.
Оператор Эйри, возмущённый дельта-функцией Дирака.
Функции Эйри.
Характеристический определитель, распределение спектра.
Асимптотика собственных значений.
Базисные свойства собственных функций, разложения по собственным функциям.
Локализация первого собственного значения, оценки снизу первого собственного значения.

Специфика бесконечных размерностей в математической физике.
Общее понятие сходимости, равномерные и локально-выпуклые топологии.
Общая схема понятий дифференцируемости.
Общая схема интегрирования, обобщенные функции и меры.
Введение в планшерелев (унитарный) гармонический анализ функций на группах без локальной компактности.
Применение к квантованию гамильтоновых систем с бесконечным числом степеней свободы.

Пространства Ефимова–Стечкина.
Пространство Кадеца
Приближения выпуклыми множествами в пространствах Lp
Существование непрерывных проекций на обобщенные рациональные функции в пространствах
Константа Юнга. Теоремы Стечкина и Бердышева
Приближение абстрактных функций. Свойства интерполяции и единственности
Приближение векторнозначных функций
Единственности наилучшего приближения в среднем для векторнозначных функций
Об условии Хаара для систем векторнозначных функций
Приближение векторнозначных функций многочленами
Почти чебышёвские множества
Почти чебышёвские системы непрерывных функций
Теоремы Радона, Хелли и Каратеодори.
Теорема об очистке
Доказательство Конягина выпуклости чебышёвских множеств в Rn
Приближение выпуклыми множествами. Строгая единственность
Связность по Менгеру, монотонная линейная связность
Понятие сегмента и интервала в линейном нормированном пространства
Монотонная линейная связность
Непрерывные и полунепрерывные выборки из метрической проекции, их связь со свойствами солнечности и существования

Выпуклость солнц
Выпуклость чебышёвских множеств в Rn. Доказательство В.И. Бердышева -- В.Кли -- Л.П.Власова с помощью теоремы о неподвижной точке.
Выпуклость чебышёвских множеств в Rn. Доказательство Э. Асплунда при помощи метода инверсии единичной сферы
Выпуклость чебышёвских множеств в Rn. Доказательство С. В. Конягина при помощи леммы об очистке.
Выпуклость чебышёвских множеств в Rn. Доказательство Л. П. Власова через delta-солнечность
Связность чебышёвских солнц
Чебышёвские подпространства. Теорема Гаркави.
Теорема Асплунда о существовании чебышёвской каверны Кли.
Теорема Крейна-Мильмана
Формулировка теоремы Тихонова о произведении.
Универсальность пространства С[0,1].
Константа Юнга.
Теоремы Радона, Хелли, Каратеодори.
Теорема Джеймса о рефлексивности.
Неравенство Джексона-Стечкина.
Теоремы Урысона и Титце-Урысона. Разбиение единицы.
Пространства Ефимова-Стечкина, CLUR, Дэя-Ошмана, Андерсона-Меггинсона.