[Кафедра дифференциальных уравнений]

Элементарная математика (функции и функциональные уравнения).
Теория чисел.
Матрицы, определители, системы линейных и нелинейных уравнений.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
Матанализ: предел и непрерывность, числовые и функциональные ряды и последовательности.
Комплексные числа и действия над ними.
Задачи теории функций комплексного переменного и задачи, решающиеся методами теории функций комплексного переменного.
Элементы высшей алгебры.
Комбинаторика.
Теория игр.
Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения.
Рекуррентные соотношения.
Пространственная геометрия.
Задачи с неравенствами.
Теория вероятностей

Теоремы сравнения и поведение решений однородного уравнения при x→∞.
Нули собственных функций.
Рост потенциала и дискретный спектр.
Критерий Молчанова дискретности спектра.
Убывание потенциала и существенный спектр.
Отсутствие собственных значений на существенном спектре. Теорема Като.
Асимптотическое поведение решений уравнения с суммируемым потенциалом.
Отрицательные собственные значения оператора Шредингера с полуограниченным потенциалом.
Многомерные дифференциальные выражения и их символы. Эллиптические дифференциальные выражения.
Слабо неполуограниченные потенциалы.
Оценки собственных функций.
Устойчивость существенного спектра относительно компактных возмущений резольвенты.
Несамосопряженные операторы, близкие к самосопряженным.
Полнота собственных векторов слабо несамосопряженных операторов.
Бесселевы и гильбертовы системы. Базисы Рисса. Базисы Рисса со скобками.
Регулярные краевые условия. Базисы Рисса из корневых подпространств оператора Штурма-Лиувилля.

Гильбертово пространство. Линейные и квадратичные функционалы.
Энергетическое пространство и функционал энергии.
Неограниченные операторы. Симметричность и самосопряженность.
Существенная самосопряженность операторов.
Расширение симметричного оператора. Индексы дефекта.
Полуограниченные операторы. Положительные и положительно определенные операторы.
Расширение полуограниченного оператора. Расширение по Фридрихсу.
Спектр замкнутого линейного оператора. Классификация точек спектра. Спектры расширений.
Спектр самосопряженного оператора.
Компактные и относительно компактные возмущения операторов.
Оператор Штурма-Лиувилля. Основные свойства оператора. Регулярный и сингулярный случаи.
Оператор Штурма--Лиувилля на конечном интервале. Асимптотика собственных значений и собственных функций.
Теоремы Штурма.
Оператор Штурма--Лиувилля в сингулярном случае. Оператор Шредингера.
Существенная самосопряженность оператора Шредингера. Теорема Сирса.
Другие условия существенной самосопряженности.

Пространство $D'(\mathbb{R}^n)$, определения и свойства.
Действия над функциями из пространства $D'(\mathbb{R}^n)$, умножение обобщенной функции на бесконечно гладкую, дифференцирование, формула Лейбница.
Носитель обобщенной функции.
Обобщенные функции с компактным носителем.
Замена переменной у обобщенной функции.
Обобщенные функции на торе.
Слабая сходимость в пространстве $D'(\mathbb{R}^n)$. Теорема о слабом пределе последовательности обобщенных функций (без доказательства).
Разложение обобщенной функции из пространства $D'(\mathbb{R}^n)$ в ряд Фурье.
Пространства Соболева периодических функций.
Эквивалентность двух определений $H^s(T_n)$ в случае целых неотрицательных n.
Полнота и сепарабельность $H^s(T_n)$.
Вложения пространства $H^s(T_n)$ в $H^t(T_n)$ , $s>t$.
Вложение пространства $H^s(T_n)$ в $C^k(T_n)$ , $s\ge [n/2]+k+1$.
Пространство, дуальное к $H^s(T_n)$.
Пространство $H^s_0(T_n)$.
Линейный дифференциальный оператор эллиптического типа.
Основные краевые задачи для эллиптических уравнений (классическая постановка, бесконечно гладкий случай).
Обобщенное в смысле С.Л.Соболева решение первой и второй краевых задач.
Неравенство Гординга.
Билинейная форма в $H^s(T_n)$, порождаемая эллиптическим оператором.
Теоремы о ядре и образе линейного оператора в гильбертовом пространстве.
Теоремы существования обобщенных решений первой краевой задачи для эллиптического оператора.
Пространство обобщенных решений первой краевой задачи. Теорема единственности.
Теоремы о существовании решения второй краевой задачи для эллиптического уравнения.
Пространство обобщенных решений второй краевой задачи.
Гладкость обобщенного решения эллиптического уравнения внутри области.
Гладкость обобщенного решения первой краевой задачи для эллиптического уравнения (вплоть до границы).
Получение решений самосопряженных эллиптических уравнений из вариационного принципа.
Краевые задачи для эллиптических уравнений в неограниченных областях. Условия на бесконечности.
Нелинейные уравнения. Оператор p-Лапласа и его обобщения. Связь с вариационным принципом.
Примеры отсутствия решений нелинейных уравнений. Явление blow-up.