[Кафедра вычислительной математики]

Задачи оптимизации. Задача Лагранжа. Задача оптимального управления.
Принцип максимума Л.С.Понтрягина.
Краевая задача принципа максимума.
Вычислительные схемы метода стрельбы.

Понятие градиентной катастрофы в теории гиперболических уравнений.
Простой пример градиентной катастрофы для уравнения Хопфа.
Примеры формирования градиентных катастроф в различных моделях механики сплошной среды (самогравитирующий газ, бесстолкновительная плазма и др.). Разрывный метод Галеркина в сочетании с методом Рунге – Кутты – полезный инструмент исследования градиентных катастроф.
Численный пример для уравнения Хопфа.
Модельные системы уравнений для изучения градиентной катастрофы.
Система I: характеристическая форма, глобальная теорема существования и единственности, продолженная система, свойства решения, физический смысл функций. Система II: характеристическая форма, локальные теоремы существования и
несуществования решения, продолженная система, свойства решения, асимптотические методы исследования.
Численное решение модельных систем: эйлеровы и лагранжевы переменные, решение ОДУ и УрЧП.
Аппроксимация, устойчивость, сходимость, дифференциальное приближение.
Методы различных порядков точности.
Метод частиц в ячейке (PiC) для моделирования нелинейных колебаний.
Варианты метода CIC и TSC.
Тестовые задачи с решениями в неявной форме.
Эффект опрокидывания.
Усложненные постановки для изучения градиентной катастрофы.
Сочетание аналитических, асимптотических и численных методов исследования.

Протосолнечность обобщенных дробно-рациональных функций.
Основные понятия теории приближений. Примеры множеств существования, несуществования, единственности, неединственности.
Теорема Фелпса о 1-липшицевости оператора метрической проекции на выпуклые замкнутые множества в евклидовом пространстве.
Изоморфность конечномерных линейных нормированных пространств. Критерий компактности.
Различные виды компактности. Ограниченная компактность и аппроксимативная компактность. Свойства, примеры.
Множества существования и несуществования. Примеры. Теорема Секефальви-Надя.
Лемма Дойча.
Теорема об отделимости выпуклых множеств.
Характеризация элемента наилучшего приближения.
Теорема Хаара.
Аппроскимативно компактные множества и их свойства.
Непрерывность метрической проекции.
Солнца и критерий Колмогорова ближайшего элемента.
Локальное и глобальное наилучшее приближение. LG-множества.
Протосолнечность обобщенных дробно-рациональных функций.
Альтернанс дробно-рациональных функций. Теорема единственности.
Дифференцируемость метрической функции.

Обзор языка, история развития языка. Основные конструкции.
Основы классов: функции члены, контроль доступа, конструкторы/деструкторы, копирование и перемещение, управление ресурсами, операции с контейнерами.
Производные классы, виртуальные функции, абстрактные классы, управление доступом, множественное наследование, run time type information.
Введение в шаблоны и обобщенное программирование. Параметризованные типы, модель компиляции шаблонов. Параметризованные операции. Специализация и инстанцирование. Шаблоны и иерархии. Метапрограммирование. Вывод типов.
Введение в основы ООП. Проектирование и UML. Принципы SOLID. Паттерны проектирования.
Обзор стандартной библиотеки шаблонов (STL). Контейнеры, итераторы, алгоритмы, память и ресурсы.

Задачи оптимального управления с промежуточными условиями, смешанными ограничениями, фазовыми ограничениями, режимами особого управления и их численное решение.
Прямые методы решения оптимизационных задач. Дискретизация в фазовом пространстве и в пространстве управлений. Примеры.
Методы безусловной оптимизации: сопряжённых градиентов и эвристические методы нулевого порядка. Примеры.
Методы условной оптимизации: метод проекции градиента, метод условного градиента, метод штрафных функций, метод линеаризации.
Условия второго порядка и их численная проверка.

Специальные разделы функционального анализа и теории динамических систем.
Устойчивость в окрестности неподвижной точки.
Динамика в окрестности неподвижной точки гиперболического типа.
Линейные ПДС. Методы численного построения инвариантных подпространств.
Нелинейные ПДС. Теорема Адамара-Перрона для гильбертовых пространств.
Классификация методов приближенного построения устойчивого и неустойчивого многообразий.
Стабилизация к неподвижной точке в терминах устойчивого и неустойчивого многообразий)
Задача численного построения инвариантных подпространств.
Нелинейные ПДС, обобщенная теорема Адамара-Перрона.
Стабилизация к траектории в терминах устойчивого и неустойчивого многообразий.
Качественная теория дифференциальных уравнений и глобальных аттракторов.
Инвариантные множества.
Глобальный аттрактор в некомпактных пространствах.
Структура аттрактора. Принцип временной редукции.
Понятие размерности глобального аттрактора.
Аттракторы, зависящие от параметра.
Динамические системы, зависящие от параметра.

Программирование систем с распределенной памятью. Message Passing Interface (MPI).
Попарный обмен сообщениями. Коллективный обмен сообщениями.
Примеры параллельных программ для систем с распределенной памятью.
Методы построения триангуляции двумерных областей. Метод наименьших квадратов. Общая схема построения матрицы системы для базиса из функций Куранта.
Разреженные матрицы и методы их хранения в оперативной памяти. Пример подпрограммы умножения разреженной матрицы в формате MSR на вектор.
Общий вид одношаговых итерационных методов. Автоматический выбор итерационного параметра. Понятие предобуславливателя.
Подпрограмма заполнения разреженной матрицы для метода наименьших квадратов в прямоугольнике для систем с общей памятью.
Метод конечных элементов. Общая схема построения матрицы системы для задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Внутренняя организация процессоров. Повышение производительности процессоров за счет введения кэш памяти. Согласование кэшей в мультипроцессорных
системах с общей памятью.
Виды многопроцессорных архитектур. Системы с неоднородным доступом к памяти. Общее строение современных кластерных систем.
Механизмы взаимодействия процессов. Виды ресурсов. Управление процессами. Межпроцессное взаимодействие.
Управление потоками. Виды объектов синхронизации и основные функции работы с ними.
Организация пула динамической памяти в многопоточных программах и поддержка неоднородного доступа к памяти.
Примеры параллельных программ для систем с общей памятью.

Основы работы в среде Linux: установка и настройка системы; работа с командной строкой; управление файлами и папками; базовые команды и утилиты.
Работа с сетевыми протоколами и библиотеками: основные сетевые протоколы (TCP/IP, HTTP, FTP и др.); утилиты для работы с сетевыми протоколами; обзор и использование библиотек для передачи и хранения данных; диагностика и мониторинг сетевых соединений.
Работа с удалёнными узлами в сети: туннелирование и его применение; частные сети и их настройка; принципы работы оверлейных сетей; прокси-протоколы и их использование.
Разработка программ для работы с сетями: проектирование архитектуры сетевых приложений; реализация сетевых функций в программных продуктах; оптимизация производительности и масштабируемости сетевых приложений; тестирование и отладка сетевых программ.

Корневая декомпозиция.
Быстрое преобразование Фурье.
Потоки на графах.
Методы оптимизации динамического программирования.