Минимальные подмногообразия и гармонические отображения
Название спецкурса на английском языке
Minimal submanifolds and harmonic maps
Пререквизиты
Курс дифференциальной геометрии и топологии в объеме 5 семестра мехмата
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Функционал объёма. Первая вариация функционала объёма. Минимальные подмногобразия.
Вторая вариация функционала объёма, ее индекс.
Функционал энергии. Первая вариация функционала энергии. Гармонические отображения.
Вторая вариация функционала энергии, ее индекс.
Минимальные поверхности.
Гармонические отображения поверхностей. Гармоничность и голоморфность.
Связь с оператором Лапласа.
Формулы типа Бохнера.
Вторая вариация функционала объёма, ее индекс.
Функционал энергии. Первая вариация функционала энергии. Гармонические отображения.
Вторая вариация функционала энергии, ее индекс.
Минимальные поверхности.
Гармонические отображения поверхностей. Гармоничность и голоморфность.
Связь с оператором Лапласа.
Формулы типа Бохнера.
Список источников
Xin, Yuanlong. Minimal submanifolds and related topics. Second edition. Nankai Tracts in Mathematics, 16. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2019.
Xin, Yuanlong. Geometry of harmonic maps. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 23. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996.
Dierkes, Ulrich; Hildebrandt, Stefan; Sauvigny, Friedrich. Minimal surfaces. Revised and enlarged second edition. With assistance and contributions by A. Küster and R. Jakob. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010
Xin, Yuanlong. Geometry of harmonic maps. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 23. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996.
Dierkes, Ulrich; Hildebrandt, Stefan; Sauvigny, Friedrich. Minimal surfaces. Revised and enlarged second edition. With assistance and contributions by A. Küster and R. Jakob. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010
День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
Ещё не назначена
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Методы дифференциальной топологии и их приложения
Название спецкурса на английском языке
Methods of differential topology and its applications
Пререквизиты
Курс существенно базируется на знаниях, полученных из обязательного
курса "Дифференциальная геометрия и топология" (3 курс, 1--й семестр).
курса "Дифференциальная геометрия и топология" (3 курс, 1--й семестр).
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Некоторые применения степени: сюръективность отображения ненулевой степени. Теорема Гаусса. Степень комплексного рационального отображения сферы в себя. Группа мебиусовых преобразований ; ее подгруппы SL(2, R) и SL(2, Z), образующие последней.
Индекс особой точки векторного поля и индекс неподвижной точки отображения. Примеры вычисления. Индекс критической точки градиентного векторного поля функции Морса.
Гауссово отображение подмногообразия коразмерности 1 в R^q. Теорема Хопфа о сумме индексов векторного поля в области с гладкой границей в R^q.
Теорема Хопфа о сумме индексов векторного поля на компактном гладком многообразии. Некоторые следствия.
Теорема о существовании поля с одной особой точкой на любом компактном многообразии. Существование полей без особых точек на многообразиях нечетной раз-
мерности.
Теорема Хопфа о деформации отображения межу двумя замкнутыми ориентируемыми многообразиями в отображение с числом прообразов равным степени отображения.
Теорема Хопфа о гомотопности отображений гладкого ориентируемого многообразия в сферу в сферу той же размерности.
Гомотопические группы. Определения, коммутативность операции, действие фундаментальной группы. Роль базисной точки.
Индуцированное отображение гомотопических групп. Группы накрытия. Гомотопические группы многообразий размерности 1 и 2.
Гомоморфизм Гуревича.
Относительные гомотопические группы. Точная последовательность пары. Одно применение : точная последовательность расслоения.
Пример применения (расслоение сферы над кватернионным проективным пространством)
Отображение надстройки. Теорема Фрейденталя.
Конструкция Понтрягина, оснащенный бордизм.
Теорема Понтрягина о гомотопии и оснащенной кобордантности. Гомологический инвариант оснащенных многообразий размерности 1 в сфере. Группа π_n+1(S^n).
Индекс особой точки векторного поля и индекс неподвижной точки отображения. Примеры вычисления. Индекс критической точки градиентного векторного поля функции Морса.
Гауссово отображение подмногообразия коразмерности 1 в R^q. Теорема Хопфа о сумме индексов векторного поля в области с гладкой границей в R^q.
Теорема Хопфа о сумме индексов векторного поля на компактном гладком многообразии. Некоторые следствия.
Теорема о существовании поля с одной особой точкой на любом компактном многообразии. Существование полей без особых точек на многообразиях нечетной раз-
мерности.
Теорема Хопфа о деформации отображения межу двумя замкнутыми ориентируемыми многообразиями в отображение с числом прообразов равным степени отображения.
Теорема Хопфа о гомотопности отображений гладкого ориентируемого многообразия в сферу в сферу той же размерности.
Гомотопические группы. Определения, коммутативность операции, действие фундаментальной группы. Роль базисной точки.
Индуцированное отображение гомотопических групп. Группы накрытия. Гомотопические группы многообразий размерности 1 и 2.
Гомоморфизм Гуревича.
Относительные гомотопические группы. Точная последовательность пары. Одно применение : точная последовательность расслоения.
Пример применения (расслоение сферы над кватернионным проективным пространством)
Отображение надстройки. Теорема Фрейденталя.
Конструкция Понтрягина, оснащенный бордизм.
Теорема Понтрягина о гомотопии и оснащенной кобордантности. Гомологический инвариант оснащенных многообразий размерности 1 в сфере. Группа π_n+1(S^n).
Список источников
Милнор Дж. Тополргия с дифференциальной точки зрения. В книге Милнор Дж.,
Уоллес А. "Дифференциальная топология"Мир 1972.
Милнор Дж. Теория Морса. Мир 1965.
Понтрягин Л.С., Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий. "Наука"1976.
Хирш М. Дифференциальная топология. Мир 1979.
Ху С-Ц, Теория гомотопий. "Мир"1964.
Уоллес А. "Дифференциальная топология"Мир 1972.
Милнор Дж. Теория Морса. Мир 1965.
Понтрягин Л.С., Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий. "Наука"1976.
Хирш М. Дифференциальная топология. Мир 1979.
Ху С-Ц, Теория гомотопий. "Мир"1964.
День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
454
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Методы дифференциальной топологии
Название спецкурса на английском языке
Methods of differential topology
Пререквизиты
Курс существенно базируется на знаниях, полученных из обязательного
курса "Дифференциальная геометрия и топология" (3 курс, 1--й семестр).
курса "Дифференциальная геометрия и топология" (3 курс, 1--й семестр).
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Вводная лекция и иллюстрация методов дифференциальной топологии на примере доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке.
Ревизия теоремы Сарда-Дубовицкого и теоремы Уитни
Следствие теоремы Уитни : существование римановой метрики ; аппроксимация
непрерывного отображения между гладкими многообразиями гладким отображением.
Отступление : размерность Лебега-Чеха и объяснение универсальности размерности 2m + 1 в теореме Уитни.
Регулярная трубчатая окрестность подмногообразия в R^q. Доказательство теоремы аппроксимации. Гомотопность отображений достаточно близких к данному.
Функция расстояния до точки в R^q. Фокальные точки для подмногообразия. Определение функций Морса и их существование.
Индекс и дефект изолированой критической точки гладкой функции. Лемма Адамара и лемма Морса. Структура критических точек функций Морса.
Примеры функций Морса : на проективных пространствах. Возмущение гладкой фунции на подмногообразии с помощью линейной функции. Плотность функций Морсва в пространстве гладких функций.
Существование векторных полей с изолированными особыми точками.
Теорема Риба. Однопараметрические группы диффеоморфизмов и векторные поля.
Доказательство теоремы Риба.
Ориентация: определения и примеры. Эквивалентность различных определений
ориентируемости. Ориентируемость односвязных многообразий.
Ориентация многообразий с краем. Двулистное ориентирующее накрытие.
Степень отображения над Z. Независимость от выбора регулярного значения. Примеры.
Степень mod2. Кобордизмы, инвариантность степени кобордантных отображений. Общие свойства степени : инвариантность при гомотопии, степень композиции
отображений.
Ревизия теоремы Сарда-Дубовицкого и теоремы Уитни
Следствие теоремы Уитни : существование римановой метрики ; аппроксимация
непрерывного отображения между гладкими многообразиями гладким отображением.
Отступление : размерность Лебега-Чеха и объяснение универсальности размерности 2m + 1 в теореме Уитни.
Регулярная трубчатая окрестность подмногообразия в R^q. Доказательство теоремы аппроксимации. Гомотопность отображений достаточно близких к данному.
Функция расстояния до точки в R^q. Фокальные точки для подмногообразия. Определение функций Морса и их существование.
Индекс и дефект изолированой критической точки гладкой функции. Лемма Адамара и лемма Морса. Структура критических точек функций Морса.
Примеры функций Морса : на проективных пространствах. Возмущение гладкой фунции на подмногообразии с помощью линейной функции. Плотность функций Морсва в пространстве гладких функций.
Существование векторных полей с изолированными особыми точками.
Теорема Риба. Однопараметрические группы диффеоморфизмов и векторные поля.
Доказательство теоремы Риба.
Ориентация: определения и примеры. Эквивалентность различных определений
ориентируемости. Ориентируемость односвязных многообразий.
Ориентация многообразий с краем. Двулистное ориентирующее накрытие.
Степень отображения над Z. Независимость от выбора регулярного значения. Примеры.
Степень mod2. Кобордизмы, инвариантность степени кобордантных отображений. Общие свойства степени : инвариантность при гомотопии, степень композиции
отображений.
Список источников
Милнор Дж. Тополргия с дифференциальной точки зрения. В книге Милнор Дж.,
Уоллес А. "Дифференциальная топология"Мир 1972.
Милнор Дж. Теория Морса. Мир 1965.
Понтрягин Л.С., Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий. "Наука"1976.
Хирш М. Дифференциальная топология. Мир 1979.
Ху С-Ц, Теория гомотопий. "Мир"1964.
Уоллес А. "Дифференциальная топология"Мир 1972.
Милнор Дж. Теория Морса. Мир 1965.
Понтрягин Л.С., Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий. "Наука"1976.
Хирш М. Дифференциальная топология. Мир 1979.
Ху С-Ц, Теория гомотопий. "Мир"1964.
День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
454
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
454
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Введение в теорию n-значных топологических групп и nH-пространств
Название спецкурса на английском языке
Introduction to n-valued groups and nH-spaces theory
Пререквизиты
Начальный курс общей и алгебраической топологии (фундаментальная группа, накрытия).
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Симметрические степени топологических пространств. Косетные и бикосетные n-значные топологические группы. Полная ассоциативность n-значных групп.
Конструкция удвоения и косетные 2^{n-1}-значные топологические группы на сферах S^n.
Косетные 2^{n-1}-значные группы на RP^n для нечетных n.
Симметрические степени компактных римановых поверхностей.
Классификация В.М.Бухштабера-А.П.Веселова-А.А.Гайфуллина инволютивных двузначных групп.
Симметрические степени CW-комплексов: классическое вычисление фундаментальной группы.
nH-пространства. Инвариантность относительно ретракций. Гомотопическая инвариантность понятия nH-пространства.
n-гомоморфизмы градуированно коммутативных алгебр. Рекурсия Фробениуса. Сумма n-гомоморфизма и m-гомоморфизма есть (n+m)-гомоморфизм.
n-предалгебры Хопфа. Классификация Лере-Хопфа 1-предалгебр Хопфа (= предалгебр Хопфа) над полем нулевой характеристики.
Теорема о групповом трансфере для симплициальных действий конечных групп.
Рациональное кольцо когомологий симметрических степеней счетных CW-комплексов и лемма целочисленности Накаоки. Связь с n-гомоморфизмами.
Любая надстройка и любая гомологическая сфера являются 2H-пространствами.
Наличие структуры nH-пространств на конечных СW-комплексах, имеющих совершенную фундаментальную группу.
Открытые вопросы.
Конструкция удвоения и косетные 2^{n-1}-значные топологические группы на сферах S^n.
Косетные 2^{n-1}-значные группы на RP^n для нечетных n.
Симметрические степени компактных римановых поверхностей.
Классификация В.М.Бухштабера-А.П.Веселова-А.А.Гайфуллина инволютивных двузначных групп.
Симметрические степени CW-комплексов: классическое вычисление фундаментальной группы.
nH-пространства. Инвариантность относительно ретракций. Гомотопическая инвариантность понятия nH-пространства.
n-гомоморфизмы градуированно коммутативных алгебр. Рекурсия Фробениуса. Сумма n-гомоморфизма и m-гомоморфизма есть (n+m)-гомоморфизм.
n-предалгебры Хопфа. Классификация Лере-Хопфа 1-предалгебр Хопфа (= предалгебр Хопфа) над полем нулевой характеристики.
Теорема о групповом трансфере для симплициальных действий конечных групп.
Рациональное кольцо когомологий симметрических степеней счетных CW-комплексов и лемма целочисленности Накаоки. Связь с n-гомоморфизмами.
Любая надстройка и любая гомологическая сфера являются 2H-пространствами.
Наличие структуры nH-пространств на конечных СW-комплексах, имеющих совершенную фундаментальную группу.
Открытые вопросы.
Список источников
V. M. Buchstaber, “n-valued groups: theory and applications”, Mosc. Math. J., 6:1 (2006), 57–84
Д. В. Гугнин, “Топологические приложения градуированных n-гомоморфизмов Фробениуса”, Тр. ММО, 72, № 1, МЦНМО, М., 2011, 127–188
Д. В. Гугнин, “Разветвленные накрытия многообразий и nH-пространства”, Функц. анализ и его прил., 53:2 (2019), 68–71
Д. В. Гугнин, “Любая надстройка и любая гомологическая сфера являются 2H-пространствами”, Труды МИАН, 318, МИАН, М., 2022, 51–65
Д. В. Гугнин, “Целочисленное кольцо когомологий симметрических степеней CW-комплексов и топология симметрических степеней римановых поверхностей”, Труды МИАН, 326, МИАН, М., 2024, 148–172
Д. В. Гугнин, “Топологические приложения градуированных n-гомоморфизмов Фробениуса”, Тр. ММО, 72, № 1, МЦНМО, М., 2011, 127–188
Д. В. Гугнин, “Разветвленные накрытия многообразий и nH-пространства”, Функц. анализ и его прил., 53:2 (2019), 68–71
Д. В. Гугнин, “Любая надстройка и любая гомологическая сфера являются 2H-пространствами”, Труды МИАН, 318, МИАН, М., 2022, 51–65
Д. В. Гугнин, “Целочисленное кольцо когомологий симметрических степеней CW-комплексов и топология симметрических степеней римановых поверхностей”, Труды МИАН, 326, МИАН, М., 2024, 148–172
День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
1205
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1205
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Теория гомологий
Название спецкурса на английском языке
Theory of homology
Пререквизиты
Курс "Введение в топологию" или аналогичный
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Симплициальные гомологии
Сингулярные гомологии
Клеточные гомологии
Гомологии с коэффициентами и когомологии
Кольцо когомологий
Двойственность Пуанкаре
Сингулярные гомологии
Клеточные гомологии
Гомологии с коэффициентами и когомологии
Кольцо когомологий
Двойственность Пуанкаре
Список источников
В.А. Васильев. Введение в топологию. Москва, Фазис, 1997.
О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. Элементарная топология. Москва, МЦНМО, 2010.
Т.Е. Панов. Введение в алгебраическую топологию. Москва, МЦНМО, 2024.
А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. Москва, Наука, 1989.
А. Хатчер. Алгебраическая топология. Москва, МЦНМО, 2011.
О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. Элементарная топология. Москва, МЦНМО, 2010.
Т.Е. Панов. Введение в алгебраическую топологию. Москва, МЦНМО, 2024.
А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. Москва, Наука, 1989.
А. Хатчер. Алгебраическая топология. Москва, МЦНМО, 2011.
Дополнительная информация
Текст лекций доступен на странице Т.Е. Панова на сайте кафедры высшей геометрии и топологии:
http://higeom.math.msu.su/people/taras/
День недели
вторник
Время
12:30-14:05
Аудитория
448
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
448
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Комплексная геометрия многообразий с действием тора
Название спецкурса на английском языке
Complex geometry of manifolds with torus action
Пререквизиты
Знания по топологии и дифференциальной геометрии в объёме первых двух курсов
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Экспоненциальные действия и голоморфные слоения, свободные орбиты (невырожденные листы).
Линейная двойственность Гейла.
Вееры и триангулированные конфигурации векторов.
Собственные действия.
Полнота и компактность фактор-пространств.
Полиэдральные произведения и момент-угол-многообразия.
Выпуклые многогранники и полиэдры, нормальные вееры и пересечения квадрик.
Голоморфные экспоненциальные действия и комплексные структуры на момент-угол-многообразиях.
Двойственность Гейла для рациональных конфигураций.
Частичные факторы и тор-эспоненциальные действия.
LVM- и LVMB-многообразия.
Торические многообразия и их иррациональные деформации: дивизоры, Nef- и обильный конусы, симплектическая редукция.
Трансверсально кэлеровы формы на комплексных многообразиях с действием тора, дивизоры и подмногообразия.
Базисные когомологии де Рама и Дольбо.
Линейная двойственность Гейла.
Вееры и триангулированные конфигурации векторов.
Собственные действия.
Полнота и компактность фактор-пространств.
Полиэдральные произведения и момент-угол-многообразия.
Выпуклые многогранники и полиэдры, нормальные вееры и пересечения квадрик.
Голоморфные экспоненциальные действия и комплексные структуры на момент-угол-многообразиях.
Двойственность Гейла для рациональных конфигураций.
Частичные факторы и тор-эспоненциальные действия.
LVM- и LVMB-многообразия.
Торические многообразия и их иррациональные деформации: дивизоры, Nef- и обильный конусы, симплектическая редукция.
Трансверсально кэлеровы формы на комплексных многообразиях с действием тора, дивизоры и подмногообразия.
Базисные когомологии де Рама и Дольбо.
Список источников
[1] Arzhantsev, Ivan; Derenthal, Ulrich; Hausen, Juergen; Laface, Antonio, Cox Rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 144. Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
[2] Audin, Michele, The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds. Progress in Mathematics, 93. Birkhauser, Basel, 1991.
[3] Bosio, Frederic; Meersseman Laurent, Real quadrics in Cn, complex manifolds and convex polytopes. Acta Math. 197 (2006), no. 1, 53-127.
[4] Buchstaber, Victor; Panov, Taras, Toric Topology. Math. Surv. and Monogr., 204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
[5] Cox, David A.; Little John B.; Schenck, Henry K., Toric varieties. Graduate Studies in Mathematics, 124. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011.
[6] De Loera, Jesus; Rambau, Joerg; Santos, Francisco, Triangulations. Structures for Algorithms and Applications. Algorithms Comput. Math., 25, Springer-Verlag, Berlin, 2010.
[7] Guillemin, Victor, Moment Maps and Combinatorial Invariants of Hamiltonian T^n-spaces. Progress in Mathematics, 122. Birkhaeuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994.
[8] Ishida, Hiroaki, Complex manifolds with maximal torus actions. J. Reine Angew. Math. 751 (2019), 121-184.
[9] Katzarkov, Ludmil; Lupercio, Ernesto; Meersseman, Laurent; Verjovsky, Alberto, Quantum (non-commutative) toric geometry: foundations. Adv. Math. 391 (2021), Paper No. 107945, 110 pp.
[10] Panov, Taras, Exponential actions defined by vector configurations, Gale duality, and moment-angle manifolds. Bulletin of the London Mathematical Society, 2025; arXiv:2411.03366.
[11] Panov, Taras; Ustinovskiy, Yury; Verbitsky, Misha, Complex geometry of moment-angle manifolds. Math. Z. 284 (2016), no. 1-2, 309-333.
[2] Audin, Michele, The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds. Progress in Mathematics, 93. Birkhauser, Basel, 1991.
[3] Bosio, Frederic; Meersseman Laurent, Real quadrics in Cn, complex manifolds and convex polytopes. Acta Math. 197 (2006), no. 1, 53-127.
[4] Buchstaber, Victor; Panov, Taras, Toric Topology. Math. Surv. and Monogr., 204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
[5] Cox, David A.; Little John B.; Schenck, Henry K., Toric varieties. Graduate Studies in Mathematics, 124. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011.
[6] De Loera, Jesus; Rambau, Joerg; Santos, Francisco, Triangulations. Structures for Algorithms and Applications. Algorithms Comput. Math., 25, Springer-Verlag, Berlin, 2010.
[7] Guillemin, Victor, Moment Maps and Combinatorial Invariants of Hamiltonian T^n-spaces. Progress in Mathematics, 122. Birkhaeuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994.
[8] Ishida, Hiroaki, Complex manifolds with maximal torus actions. J. Reine Angew. Math. 751 (2019), 121-184.
[9] Katzarkov, Ludmil; Lupercio, Ernesto; Meersseman, Laurent; Verjovsky, Alberto, Quantum (non-commutative) toric geometry: foundations. Adv. Math. 391 (2021), Paper No. 107945, 110 pp.
[10] Panov, Taras, Exponential actions defined by vector configurations, Gale duality, and moment-angle manifolds. Bulletin of the London Mathematical Society, 2025; arXiv:2411.03366.
[11] Panov, Taras; Ustinovskiy, Yury; Verbitsky, Misha, Complex geometry of moment-angle manifolds. Math. Z. 284 (2016), no. 1-2, 309-333.
Дополнительная информация
Спецкурс проходит в МИАН (ул. Губкина, 8), ауд. 303, по четвергам, 18:00-20:00.
Страница курса в МИАН:
https://www.mathnet.ru/conf2637
Торическая геометрия и топология предоставляют большое количество примеров многообразий с «нестандартными» комплексными структурами, т.е. не кэлеровыми и даже не мойшезоновыми. Одним из основных классов таких примеров являются момент-угол-многообразия.
Комплексная структура на момент-угол-многообразии Z определяется набором комбинаторных геометрических данных, включающий полный симплициальный (но не обязательно рациональный) веер. Примерами комплексных момент-угол-многообразий являются многообразия Хопфа и Калаби-Экмана, а также их деформации.
В случае рациональных вееров многообразие Z является тотальным пространством голоморфного расслоения над торическим многообразием со слоем - компактным комплексным тором. В этом случае инварианты комплексной структуры на Z, такие как когомологии Дольбо и числа Ходжа, могут быть описаны с помощью спектральной последовательности Бореля голоморфного расслоения.
В общем случае слои голоморфного расслоения «размыкаются» и расслоение превращается в каноническое голоморфное слоение на комплексном момент-угол-многообразии Z, эквивариантное относительно действия алгебраического тора. Пара (Z,F) многообразия и голоморфного слоения является моделью для иррациональных торических многообразий.
В общем положении комплексное момент-угол-многообразие Z имеет лишь конечное число комплексных подмногообразий положительной размерности, так что на таком комплексном многообразии не существует непостоянных мероморфных функций, а его алгебраическая размерность равна нулю.
Конструкция и классификация комплексных многообразий с действием тора основана на понятии экспоненциального действия, задаваемого конфигурацией векторов. Экпоненциальные действия объединяют многие конструкции голоморфной динамики, некэлеровой комплексной геометрии, торической геометрии и топологии. К ним относятся пространства листов голоморфных слоений, пересечения вещественных и эрмитовых квадрик, фактор-конструкция торических многообразий, LVM- и LVMB-многообразия, комплексно-аналитические структуры на момент-угол-многообразиях и их частичные факторы.
Во всех случаях геометрия и топология соответствующего фактор-объекта могут быть описаны комбинаторными данными, включающих пару двойственных по Гейлу конфигураций векторов.
День недели
четверг
Время
18:30-20:05
Аудитория
Внешняя площадка
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.