Элементы дифференциальной топологии

Название спецкурса на английском языке
Elements of differential topology
Авторы курса
Гусейн-Заде Сабир Меджидович
Пререквизиты
Стандартные курсы мех-мат факультета. Желательно, но не обязательно, знание самых начал алгебраической топологии: простейшие свойства групп гомологий и когомологий.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2026/27
Список тем
Лемма Сарда. Трансверсальность.
Индекс пересечения. Индекс зацепления.
Лемма Морса. (Конечномерная) теория Морса.
Распределения векторных полпространств на многообразии. Интегрируемость. Теорема Фробениуса.
Список источников
1. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.
2. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия: Методы и приложения. Т. 3: Теория гомология. М.: Эдиториал УРСС, Добросвет, 2001.
3. С.М.Гусейн-Заде. Дифферециальная геометрия и топология. М.: МЦНМО, 2026.
Дополнительная информация

Курс содержит начала топологии гладких многообразий, не входящие, как правило, в обязательные курсы мех-мата МГУ.

Мне не удалось ввести дату первого занятия: год не набирается. Поэтому пишу её здесь: 17 сентября 2026 г.

День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
Ещё не назначена
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Элементы торической топологии

Название спецкурса на английском языке
Elements of toric topology
Авторы курса
Ероховец Николай Юрьевич
Пререквизиты
Желательно быть знакомым с основами теории многогранников (рекомендуются книги
Г. Циглер. Теория многогранников и B. Grunbaum. Convex polytopes) и алгебраической топологии (рекомендуется книга А.Hatcher. Algebraic topology)
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2026/27
Список тем
Основная конструкция торической топологии. Полиэдральная степень. Кубический комплекс простого многогранника.
Момент-угол-комплексы. Конструкция Дэвиса-Янушкевича.
Момент-угол многообразия.
Аддитивная структура в гомологиях и когомологиях момент-угол комплексов. Формула Хохстера.
Умножение в когомологиях момент-угол комплекса.
Мультиградиурованная двойственность Пуанкаре для момент-угол многообразий и двойственность Александера для полных подкомплексов.
Кольцо когомологий момент-угол многообразия простого многогранника.
Свободные действия подгрупп на момент-угол комплексах. Число Бухштабера.
Квазиторические многообразия и малые накрытия.
Когомологически жёсткие семейства многообразий. B-жёсткость и C-жёсткость простого многогранника.
Кольцо когомологий момент-угол многообразия простого трёхмерного флагового многогранника.
B-жёсткость многогранников Погорелова.
Геометризация трёхмерных многообразий, определяемых векторными раскрасками трёхмерных многогранников.
Многообразия, определяемые несвободными действиями подгрупп Z_2^k на вещественном момент-угол многообразий.
Гиперэллиптические многообразия с геометрической структурой и гамильтоновы подкомплексы в границе многогранника.
Список источников
1. В.М.Бухштабер, Т.Е.Панов. Торические действия в топологии и комбинаторике. МЦНМО, 2004.
2. Victor Buchstaber and Taras Panov. Toric Topology. Math. Surv. and Monogr.,204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
3. V.M.Buchstaber, N.Yu. Erokhovets, Combinatorics and toric topology of fullerenes and related families of polytopes (проект книги).
4. В.М. Бухштабер, Н.Ю. Ероховец, М.Масуда, Т.Е. Панов, С.Пак, “Когомологическая жёсткость многообразий, задаваемых трёхмерными многогранниками”, УМН, 72:2(434) (2017), 3–66.
5. Feifei Fan, Jun Ma, and Xiangjun Wang. B-Rigidity of flag 2-spheres without 4-belt. arXiv:1511.03624.
6. Feifei Fan, Jun Ma, Xiangjun Wang, “Cohomological rigidity of manifolds with torus actions: I”, Mosc. Math. J., 24:4 (2024), 529–585, arXiv:2004.03362.
7. Н. Ю. Ероховец, “Теория инварианта Бухштабера симплициальных комплексов и выпуклых многогранников”, Тр. МИАН, 286, МАИК, М., 2014, 144–206.
8. Н.Ю. Ероховец, “Многообразия, реализованные как пространства орбит несвободных действий группы Z_2^k на вещественных момент-угол многообразиях”, Топология, геометрия, комбинаторика и математическая физика, Сборник статей. К 80-летию члена-корреспондента РАН Виктора Матвеевича Бухштабера, Труды МИАН, 326, МИАН, М., 2024, 193–239.
9. Н. Ю. Ероховец, “Четырехмерные гиперэллиптические многообразия, определяемые векторными раскрасками простых многогранников”, Матем. сб., 217:5 (2026), 45–89.
Дополнительная информация

Актуальная информация о спецкурсе в телеграм: https://t.me/+etNivCxY4jk1MTMy

День недели
пятница
Время
16:45-18:20
Аудитория
1226б
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1226б
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Комбинаторика выпуклых многогранников

Название спецкурса на английском языке
Combinatorics of convex polytopes
Авторы курса
Ероховец Николай Юрьевич
Пререквизиты
Желатально знать основы линейной алгебры
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2026/27
Список тем
Два описания выпуклого многогранника. Теорема Минковского-Вейля
Грани выпуклых многогранников.
Двойственный многогранник.
Шеллинговость выпуклых многогранников и формула Эйлера-Пуанкаре. Полиэдральные комплексы. Диаграммы Шлегеля.
Алгебра Хопфа комбинаторных выпуклых многогранников с операцией джойна. Операторы граней.
f-векторы простых многогранников. Соотношения Дена-Соммервилля. Формулировка теорем о верхней и нижней границах чисел граней простых n-мерных многогранников с фиксированным числом гиперграней. Формулировка g-теоремы.
Флаговые векторы выпуклых многогранников. Соотношения Байер-Биллеры.
Многогранный конус. Два способа описания.
Понятие веера. Нормальный веер выпуклого многогранника.
Сумма Минковского множеств. Многогранники Ньютона.
Производящие множества и нестоэдры.
Диаграммы Гейла выпуклых многогранников. Многогранники с малым числом граней.
Графы многогранников. Теорема Штейница о характеризации графов трёхмерных многогранников. Медиальные графы.
Прямоугольные многогранники в пространстве Лобачевского. Формулировка теоремы Андреева. Вывод теоремы Кёбе-Андреева-Тёрстона о реализации трёхмерного многогранника
Фуллерены. Фуллерены и 7-диск-фуллерены как прямоугольные многогранники в пространстве Лобачевского.
Построение семейств трёхмерных многогранников при помощи операций: фуллерены и многогранники Погорелова. Теорема Т.Иное об увеличении гиперболического объёма при операции (идея доказательства).
Список источников
1. Э.Б. Винберг. Курс алгебры (глава про выпуклые многогранники). МЦНМО. 2017.
2. Branko Grunbaum. Convex polytopes (2nd Edition). Graduate texts in Mathematics, 221, Springer-Verlag, New York, 2003.
3. Г. Циглер. Теория многогранников. МЦНМО. 2014.
4. В.М. Бухштабер, Т.Е. Панов. Торические действия в топологии и комбинаторике. МЦНМО, 2004.
5. Victor Buchstaber and Taras Panov. Toric Topology. Math. Surv. and Monogr.,~204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
6. V.M. Buchstaber, N.Yu. Erokhovets, Combinatorics and toric topology of fullerenes and related families of polytopes. Preprint.
7. В.А. Емеличев, М.М. Ковалев, М.К. Кравцов. Многогранники, графы, оптимизация. М., Наука, 1981.
8. К. Кассель. Квантовые группы. УРСС. 1999.
9. В.М. Бухштабер, Н.Ю. Ероховец, Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398) (2011), 67--162.
Дополнительная информация

информация о спецкурсе в телеграм: https://t.me/+etNivCxY4jk1MTMy

День недели
пятница
Время
16:45-18:20
Аудитория
1226б
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1226б
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Алгебраическая топология: спектральные последовательности и когомологические операции

Название спецкурса на английском языке
Algebraic topology: spectral sequences and cohomology operations
Авторы курса
Мищенко Александр Сергеевич, Шастин Владимир Алексеевич
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2026/27
Список тем
Когомологии
Теория препятствий
Расслоения и спектральные последовательности
Когомологические операции
Список источников
1. Bredon G.E. Geometry and topology
2. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии
3. Мак-Клири Дж. Путеводитель по спектральным последовательностям
4. Топологическая библиотека. Том III. Спектральные последовательности в топологии. (под ред. С.П. Новикова и И.А. Тайманова)
День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
Ещё не назначена
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Алгебраическая топология: гомотопические группы и гомологии

Название спецкурса на английском языке
Algebraic topology: homotopy groups and homology theory
Авторы курса
Мищенко Александр Сергеевич, Шастин Владимир Алексеевич
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2026/27
Список тем
Топологические пространства, конструкции
Накрытия и гомотопические группы
Симплициальные и сингулярные гомологии
Когомологии
Список источников
1. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии
2. Bredon G.E. Geometry and topology
3. Хатчер А. Алгебраическая топология
День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
Ещё не назначена
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Римановы поверхности

Название спецкурса на английском языке
Riemann surfaces
Авторы курса
Гриневич Петр Георгиевич
Пререквизиты
Из ТФКП: понятие комплексного числа, понятие голоморфной функции, ряд Тейлора голоморфной функции.
Из топологии: понятие многообразия, классификация компактных гладких двумерных многообразий.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2026/27
Список тем
Понятие аналитического продолжения вдоль пути.
Риманова поверхность аналитической функции.
Компактификация римановых поверхностей с конечным числом точек ветвления и конечным числом листов.
Локальные координаты.
Группа монодромий.
Дифференциалы и векторные поля на римановых поверхностях.
Каннонический базис голоморфных дифференциалов.
Теоремы существования мероморфных дифференциалов на компактных поверхностях.
Эллиптические функции Вейерштрасса и Якоби.
Матрица Римана.
Отображение Абеля.
Тета-функции Римана.
Обращение отображения Абеля.
Римановы поверхности в теории интегрируемых уравнений на примере уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ).
Линеаризация КдФ преобразованием Абеля.
Формула Матвеева-Итса.
Список источников
Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, т.1.
Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей - М.: ИЛ, 1960.
Алексеев В.Б., Теорема Абеля в задачах и решениях - М.: МЦНМО,. 2001.
Львовский С.М., Спец.курс. Римановы поверхности: https://math.hse.ru/spec-riman.
Ахиезер Н.И., Элементы теории эллиптических функций - M.: Наука, 1970.
Абрамовиц М., Стиган И., Справочник по специальным функциям - М: Наука, 1979.
Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье - М.: Наука, 1967.
Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.П., Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия, УМН, 31:1(187) (1976), 55--136.
Дубровин Б.А., Тэта-функции и нелинейные уравненияб УМН, {36}:2(218) (1981), 11-80
День недели
по согласованию
Время
по согласованию
Аудитория
Ещё не назначена
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

К-теория С*-алгебр

Название спецкурса на английском языке
K-theory of C*-algebras
Авторы курса
Мануйлов Владимир Маркович, Троицкий Евгений Вадимович
Пререквизиты
Желательно знание основ теории С*-алгебр
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2026/27
Список тем
Свойства различных классов С*-алгебр
Проекторы
К-группы С*-алгебр, их свойства
Связь между группами K_0 и K_1.
Список источников
K. Davidson. C*-algebras by example. AMS, 1996.
N. E. Wegge-Olsen. K-theory and C*-algebras : a friendly approach. Oxford University Press, 1993.
День недели
понедельник
Время
16:45-18:20
Аудитория
Ещё не назначена
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

К-теория С*-алгебр

Название спецкурса на английском языке
K-theory of C*-algebras
Авторы курса
Мануйлов Владимир Маркович, Троицкий Евгений Вадимович
Пререквизиты
Желательно знание основ теории С*-алгебр
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента на английском языке
Учебный год
2026/27
Список тем
Свойства различных классов С*-алгебр
Проекторы
К-группы С*-алгебр, их свойства
Связь между группами K_0 и K_1.
Список источников
K. Davidson. C*-algebras by example. AMS, 1996.
N. E. Wegge-Olsen. K-theory and C*-algebras : a friendly approach. Oxford University Press, 1993.
День недели
понедельник
Время
16:45-18:20
Аудитория
Ещё не назначена
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Подписаться на [Кафедра высшей геометрии и топологии]