Симплициальные гомологии
Сингулярные гомологии
Клеточные гомологии
Гомологии с коэффициентами и когомологии
Кольцо когомологий
Двойственность Пуанкаре
Список источников
В.А. Васильев. Введение в топологию. Москва, Фазис, 1997.
О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. Элементарная топология. Москва, МЦНМО, 2010.
Т.Е. Панов. Введение в алгебраическую топологию. Москва, МЦНМО, 2024.
А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. Москва, Наука, 1989.
А. Хатчер. Алгебраическая топология. Москва, МЦНМО, 2011.
Дополнительная информация
Текст лекций доступен на странице Т.Е. Панова на сайте кафедры высшей геометрии и топологии:
http://higeom.math.msu.su/people/taras/
День недели
вторник
Время
12:30-14:05
Аудитория
448
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
448
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Знания по топологии и дифференциальной геометрии в объёме первых двух курсов
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Экспоненциальные действия и голоморфные слоения, свободные орбиты (невырожденные листы).
Линейная двойственность Гейла.
Вееры и триангулированные конфигурации векторов.
Собственные действия.
Полнота и компактность фактор-пространств.
Полиэдральные произведения и момент-угол-многообразия.
Выпуклые многогранники и полиэдры, нормальные вееры и пересечения квадрик.
Голоморфные экспоненциальные действия и комплексные структуры на момент-угол-многообразиях.
Двойственность Гейла для рациональных конфигураций.
Частичные факторы и тор-эспоненциальные действия.
LVM- и LVMB-многообразия.
Торические многообразия и их иррациональные деформации: дивизоры, Nef- и обильный конусы, симплектическая редукция.
Трансверсально кэлеровы формы на комплексных многообразиях с действием тора, дивизоры и подмногообразия.
Базисные когомологии де Рама и Дольбо.
Список источников
[1] Arzhantsev, Ivan; Derenthal, Ulrich; Hausen, Juergen; Laface, Antonio, Cox Rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 144. Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
[2] Audin, Michele, The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds. Progress in Mathematics, 93. Birkhauser, Basel, 1991.
[3] Bosio, Frederic; Meersseman Laurent, Real quadrics in Cn, complex manifolds and convex polytopes. Acta Math. 197 (2006), no. 1, 53-127.
[4] Buchstaber, Victor; Panov, Taras, Toric Topology. Math. Surv. and Monogr., 204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
[5] Cox, David A.; Little John B.; Schenck, Henry K., Toric varieties. Graduate Studies in Mathematics, 124. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011.
[6] De Loera, Jesus; Rambau, Joerg; Santos, Francisco, Triangulations. Structures for Algorithms and Applications. Algorithms Comput. Math., 25, Springer-Verlag, Berlin, 2010.
[7] Guillemin, Victor, Moment Maps and Combinatorial Invariants of Hamiltonian T^n-spaces. Progress in Mathematics, 122. Birkhaeuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994.
[8] Ishida, Hiroaki, Complex manifolds with maximal torus actions. J. Reine Angew. Math. 751 (2019), 121-184.
[9] Katzarkov, Ludmil; Lupercio, Ernesto; Meersseman, Laurent; Verjovsky, Alberto, Quantum (non-commutative) toric geometry: foundations. Adv. Math. 391 (2021), Paper No. 107945, 110 pp.
[10] Panov, Taras, Exponential actions defined by vector configurations, Gale duality, and moment-angle manifolds. Bulletin of the London Mathematical Society, 2025; arXiv:2411.03366.
[11] Panov, Taras; Ustinovskiy, Yury; Verbitsky, Misha, Complex geometry of moment-angle manifolds. Math. Z. 284 (2016), no. 1-2, 309-333.
Дополнительная информация
Спецкурс проходит в МИАН (ул. Губкина, 8), ауд. 303, по четвергам, 18:00-20:00.
Страница курса в МИАН:
https://www.mathnet.ru/conf2637
Торическая геометрия и топология предоставляют большое количество примеров многообразий с «нестандартными» комплексными структурами, т.е. не кэлеровыми и даже не мойшезоновыми. Одним из основных классов таких примеров являются момент-угол-многообразия.
Комплексная структура на момент-угол-многообразии Z определяется набором комбинаторных геометрических данных, включающий полный симплициальный (но не обязательно рациональный) веер. Примерами комплексных момент-угол-многообразий являются многообразия Хопфа и Калаби-Экмана, а также их деформации.
В случае рациональных вееров многообразие Z является тотальным пространством голоморфного расслоения над торическим многообразием со слоем - компактным комплексным тором. В этом случае инварианты комплексной структуры на Z, такие как когомологии Дольбо и числа Ходжа, могут быть описаны с помощью спектральной последовательности Бореля голоморфного расслоения.
В общем случае слои голоморфного расслоения «размыкаются» и расслоение превращается в каноническое голоморфное слоение на комплексном момент-угол-многообразии Z, эквивариантное относительно действия алгебраического тора. Пара (Z,F) многообразия и голоморфного слоения является моделью для иррациональных торических многообразий.
В общем положении комплексное момент-угол-многообразие Z имеет лишь конечное число комплексных подмногообразий положительной размерности, так что на таком комплексном многообразии не существует непостоянных мероморфных функций, а его алгебраическая размерность равна нулю.
Конструкция и классификация комплексных многообразий с действием тора основана на понятии экспоненциального действия, задаваемого конфигурацией векторов. Экпоненциальные действия объединяют многие конструкции голоморфной динамики, некэлеровой комплексной геометрии, торической геометрии и топологии. К ним относятся пространства листов голоморфных слоений, пересечения вещественных и эрмитовых квадрик, фактор-конструкция торических многообразий, LVM- и LVMB-многообразия, комплексно-аналитические структуры на момент-угол-многообразиях и их частичные факторы.
Во всех случаях геометрия и топология соответствующего фактор-объекта могут быть описаны комбинаторными данными, включающих пару двойственных по Гейлу конфигураций векторов.
День недели
четверг
Время
18:30-20:05
Аудитория
Внешняя площадка
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Topology of singular points of complex hypersurfaces
Авторы курса
Гусейн-Заде Сабир Меджидович
Пререквизиты
Желательно знать определение групп гомологий и когомологий и их простейшие свойства (точная последовательность пары).
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей геометрии и топологии]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Гомотопический тип слоя Милнора изолированной особой точки комплексной гиперповерхности.
Монодромия особой точки комплексной гиперповерхности.
Матрицы пересечений и диаграммы Дынкина.
Вычисление топологических инвариантов через разрешение особенностей.
Гомологии неособых гиперповерхностей и полных пересечений в комплексном проективном пространстве.
Гомологии особых гиперповерхностей и полных пересечений в комплексном проективном пространстве.
Список источников
Дж.Милнор. Особые точки комплексных гиперповерхностей. Мир, 1971.
В.И.Арнольд, А.Н.Варченко, С.М.Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. МЦНМО, 2009 г., Глава IV.
В. И. Арнольд, В. А. Васильев, В. В. Горюнов, О. В. Ляшко, “Особенности. I. Локальная и глобальная теория”, Динамические системы – 6, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 6, ВИНИТИ, М., 1988, 5–250; “Особенности. II. Классификация и приложения”, Динамические системы – 8, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 39, ВИНИТИ, М., 1989, 5–249.
Дополнительная информация
К сожалению система отказывается признавать дату первой лекции, хотя она и выбрана из календаря. Первая лекция состоится 25 сентября 2025 г.
Из-за проблем с аудиториями (ремонт, пересдачи) 09.10.25 и 16.10.25 лекции будут в ауд.433 Второго учебного корпуса.
День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
1208
Аудитория первого занятия
1208
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Группы Ли: определение и примеры. Подгруппы Ли.
Гомоморфизмы, линейные представления и действия.
Орбиты, стабилизаторы. Ядро и образ гомоморфизма. Однопараметрические подгруппы.
Транзитивные действия и эпиморфизм. Многообразие смежных классов и фактор-группа.
Касательная алгебра Ли. Дифференциал гоморфизма групп Ли. Тождество Якоби и присоединенное представление.
Левоинвариантные векторые поля.
Уравнение пути в группе Ли. Экспоненциальное отображение.
Теоремы существования и единственности для гомоморфизмов групп Ли.
Накрывающие гомоморфизмы и фундаментальная группа. Примеры.
Алгебры Ли. Структурные константы. Подалгебра. Идеал. Матричные алгебры Ли. Простая алгебра Ли. Внешняя прямая сумма алгебр Ли.
Убывающий центральный ряд. Производный ряд. Нильпотентная алгебра Ли. Разрешимая алгебра Ли. Примеры.
Теорема Энгеля. Критерий нильпотентности алгебры Ли.
Разрешимый радикал алгебры Ли. Свойства разрешимых идеалов алгебры Ли. Полупростая алгебра Ли.
Теорема Ли.
Симметрическая инвариантная билинейная форма на алгебре Ли. Идеал и его "ортогональное дополнение". Форма Киллинга.
Список источников
Гото М., Гроссханс Ф., Полупростые алгебры Ли. М."Мир 1981.
Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, 1988, М. “Наука”.
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений М.МЦНМО 1964.
День недели
пятница
Время
16:45-18:20
Аудитория
1226а
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1226а
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
