[Кафедра высшей алгебры]

Полупростые группы и алгебры Ли
Системы корней
Представления полупростых алгебр Ли

Кольца главных идеалов.
Конечно порожденные коммутативные алгебры и аффинные многообразия.
Артиновы кольца.

Аксиомы размерности. Обсуждение свойств размерности.
Размерность по Круллю. Многочлен Гильберта.
Лемма Нётер о нормализации. Система параметров.
Размерность и коразмерность один. Обратимые модули и группа классов дивизоров.
Дедекиндовы области.
Многочлены Гильберта-Самюэля.
Размерность аффинных колец.
Свободные резольвенты. Функторы Ext и Tor.
Регулярные последовательности и комплекс Козюля.
Глубина и коразмерность.
Коэн-маколеевы кольца.
Гомологическая теория регулярных локальных колец.
Свободные резольвенты и инварианты Фиттинга.

Линейные представления математических структур.
Основные теоретико-представленческие понятия и конструкции.
Гомоморфизмы линейных представлений, лемма Шура.
Разложение линейного представления на неприводимые слагаемые, кратности.
Конечномерные ассоциативные алгебры, нильрадикал.
Полупростые алгебры и их линейные представления.
Линейные представления групп, групповая алгебра.
Линейные представления конечных групп, их характеры.
Линейные группы Ли, их алгебры Ли, экспоненциальное отображение.
Линейные представления групп Ли и алгебр Ли.
Полная приводимость представлений компактных групп Ли, редуктивные группы.
Линейные представления групп Ли SL(2), SU(2), SO(3) и их алгебр Ли.
Гармонический анализ на сфере.
Универсальная обёртывающая алгебры Ли.
Алгебра Клиффорда, спиноры.

Повторение элементов теории групп 3 семестра: действия групп на множествах, их применения, теоремы Силова.
Групповые конструкции.
Некоторые классы конечных групп: нильпотентные, разрешимые, сверхазрешимые.
Теоремы Ф. Холла для разрешимых групп.
Основы теории представлений групп и алгебр.
Теория характеров конечных групп.
Применения теории характеров для доказательства теорем: о делимости порядка группы на степень неприводимого комплексного представления; Бернсайда о разрешимости бипримарных групп; о существовании ядра в группе Фробениуса. 

Основные параметры кодов.
Изометрические преобразования пространства Хэмминга.
Построение новых кодов из заданных.
Основы теории конечных коммутативных колец и модулей над ними.
Квазифробениусовы модули. Линейные коды над квазифробениусовым модулем, двойственность между кодами над кольцом и кодами над квазифробениусовым модулем.
Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП). Периодические последовательности.
Периоды многочленов и ЛРП над полем. Существование и свойства ЛРП максимального периода над конечным полем.

Определение группы Ли. Основные свойства.
Касательная алгебра Ли.
Экспоненциальное отображение.
Классификация связных коммутативных групп Ли

Алгоритмически разрешимые и неразрешимые проблемы. Машина Тьюринга.
Существование не алгоритмически разрешимой проблемы.
Задание полугруппы образующими и соотношениями. Задание группы образующими и соотношениями. Алгоритм проверки равенства слов в свободной группе.
Не разрешимость массовой проблемы равенства слов в полугруппах.
Схемы симплификации. Нормальная и каноническая форма элемента. 5 эквивалентных условий для схемы симплификация (одно из которых — условие канонизации).
Линейные схемы симплификации. Разложение подпространства элементов, имеющих каноническую форму, в прямую сумму подпространства нормальных элементов и подпространства элементов с нулевой канонической формой.
Пример линейной схемы симплификации: определение порядка на элементах, если задан порядок на базисных элементах. Редукции.
Шесть эквивалентных свойств для примера линейной схемы симплификации (одно из которых — свойство канонизации).
Лемма Диксона.
Мономиальные порядки. Условие минимальности. Примеры порядков. Утверждение о том, как устроены все мономиальные порядки (без доказательства).
Элементарная редукция. Редукция по системе полиномов. Остаток. Отсутствие бесконечных цепочек редукций. Система Грёбнера.
Нётеровы кольца (эквивалентные определения). Теорема Гильберта о базисе.
Базис Грёбнера. Критерий Бухбергера.
Алгоритм Бухбергера. Характеризация базиса Грёбнера в терминах старших членов.
Проблема вхождения элемента в идеал. Минимальный редуцированный базис Грёбнера. Проблема равенства идеалов.
Пересечение идеала с подкольцом многочленов от некоторых переменных.
Пересечение идеалов.
Лемма о достраивании корня.
Лемма о промежуточной замене.
Алгоритм решения полиномиальной системы.
Теорема Гильберта о нулях (слабая и сильная формулировки).
Проверка того, что данный многочлен принадлежит радикалу данного идеала.
Рост алгебры. Инвариантность количества параметров при решении полиномиальной системы.
Универсальный базис Грёбнера.