понедельник

Одношаговая биномиальная модель и модель Кокса-Росса-Рубинштейна.
Основы теории мартингалов в дискретном времени.
Оценка деривативов в общей модели рынка в дискретном времени.
Основы стохастического исчисления.
Модель Блэка-Шоулза и ее обобщения. Модель Блэка.
Численные методы для моделей Блэка-Шоулза и Блэка.
Подразумеваемая волатильность.

Описание унитарных представлений группы SL(2,R).
Связь унитарных представлений группы SL(2,R) и соотношений для гипергеометрических функций.
Представления группы SL(2,R) и классические ортогональные многочлены.

Эйлерова характеристика многогранников, её инвариантность (для выпуклых многогранников и в общем случае).
Дискретная теорема Гаусса-Бонне для полиэдров в 3-мерном евклидовом пространстве с краем и без края, её обобщения.
Теорема Гаусса-Бонне для гладких 2-мерных поверхностей с краем.
Теорема Сарда и следствия из неё (теорема Уитни о вложении, существование функций Морса и т.п.).
Индекс векторного поля, теорема Пуанкаре-Хопфа, теорема Морса.
Теорема Гаусса-Бонне для для гиперповерхностей в евклидовых пространствах.
Векторные расслоения над многообразиями: связности, кривизны, гомоморфизм Чженя-Вейля.
Теорема Гаусса-Бонне-Чженя.

Линейная регрессия
Метод опорных векторов
Методы кластеризации

Универсальная алгебра (множество с операциями). Гомоморфизмы и изоморфизмы
универсальных алгебр, факторалгебры, подалгебры. Тождества. Многообразия алгебр,
теорема Биркгофа. Свободные алгебры в данном многообразии. Топологические алгебры. Многообразия топологических алгебр, свободные топологические алгебры.

Операция Мальцева. Теорема Мальцева: в многообразии алгебр все конгруэнции
перестановочны тогда и только тогда, когда из операций этого многообразия можно составить операцию Мальцева. Аксиомы отделимости в топологических алгебрах с операцией Мальцева, а также в топологических алгебрах, удовлетворяющих некоторым другим алгебраическим условиям.

Абелевость фундаментальной группы линейно связной топологической алгебры, имеющей бинарную операцию с нейтральным элементом.

Теорема Мальцева–Тэйлора: в многообразии топологических алгебр все факторные гомоморфизмы открыты тогда и только тогда, когда из операций этого многообразия можно составить операцию Мальцева. Проблема о непрерывности операций на образах топологических алгебр при факторных гомоморфизмах. Свойства топологического пространства, гарантирующие существование непрерывной операции Мальцева на этом пространстве.

Топологические группы, их основные свойства. Проблема существования недискретной групповой топологии на бесконечной группе. Группы Ли, теорема Глисона–Ямабе–Монтгомери–Циппина (топологическая группа является группой Ли тогда и только тогда, когда она локальна компактна и в ней существует окрестность единицы, не содержащая нетривиальных подгрупп). Теорема: всякое компактное топологическое пространство, допускающее непрерывную операцию Мальцева (в частности, топологическая алгебра с операцией Мальцева) является ретрактом топологической группы.

Квазитопологические алгебры (универсальные алгебры с раздельно непрерывными операциями). Свободные квазитопологические алгебры. Отделимость квазитопологических алгебр. Теорема: образ квазитопологической алгебре при факторном гомоморфизме является квазитопологической алгеброй, т.е. операции на образе раздельно непрерывны.

Топологические и квазитопологические магмы, квазигруппы, лупы и полугруппы. Теорема Эллиса–Нумакуры: в любой полугруппе с хаусдорфовой компактной топологией, относительно которой умножение непрерывно хотя бы по одному аргументу, есть идемпотент и минимальные левые идеалы.

Полугруппа ультрафильтров. Применение теоремы о существовании идемпотента и минимальных левых идеалов в полугруппе ультрафильтров в комбинаторике, динамике и топологии.

Топологические векторные пространства как топологические универсальные алгебры с непрерывной сигнатурой. Следствия для выпуклых подмножеств локально выпуклых пространств и их компактификаций (в частности, для пространств вероятностных мер).

Продолжение непрерывных и раздельно непрерывных операций на объемлющие топологические пространства. Предкомпактные топологические алгебры.

Нерешённые задачи и перспективные направления исследований в топологической алгебре.