вторник

Росток гладкого отображения. Понятие струи, пространство k-струй. Теорема о двух
представителях струи. Гладкие тонкие топологии.
Понятие трансверсальности. Теоремы трансверсальности.
Локальная алгебра отображения в точке. Подготовительная теорема и следствия из неё.
Теорема Тужрона. Лемма Морса.
Понятия особенности и нормальной формы. Простые особенности. Классификация простых особенностей гладких функций.
Версальные и миниверсальные деформации.
Типичные особенности в задачах параметрической оптимизации.

Топологические динамические системы
Измеримые динамические системы
Гладкие динамические системы

Вероятностный подход к классификации
Метод ближайших соседей
Линейные классификаторы. Обучение моделей
Линейная регрессия
Машины опорных векторов
Решающие деревья. Случайный лес
Ансамблирование моделей
Бустинг
Методы уменьшения размерности

Простые числа. Делимость в кольце целых чисел, НОД, НОК, Алгоритм Евклида. Однозначное разложение целых чисел на простые множители. Бесконечность числа простых чисел. Мультипликативные функции, функции Эйлера и Мёбиуса. Формула обращения Мёбиуса. Неравенства Чебышева.
Сравнения. Сравнения и их свойства. Полная и приведенная система вычетов. Число решений линейного сравнения. Теоремы Эйлера и Ферма. Китайская теорема об остатках. Повторение основных определений алгебры: группа, кольцо, идеал, фактор-группа и фактор-кольцо, поле. Кольцо классов вычетов (определения и свойства выше на языке колец). Делители нуля. Кольцо многочленов над любым полем. Однозначность разложения в кольце многочленов.
Первообразные корни. Теорема Лагранжа (число корней многочлена над произвольным полем не превосходит степени многочлена). Группа единиц кольца вычетов по модулю простого. Структура группы единиц кольца вычетов по произвольному модулю. Первообразные корни и индексы. Степенные вычеты.
Квадратичные вычеты. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра, символ Якоби, их свойства. Теорема Вильсона и её обобщение. Лемма Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Равномерное распределение последовательностей mod n (обзорно).
Конечные поля
Источники: [Степ, главы I-II], [IR, главы 7-8,10-11], [Serre, глава I], [LN, главы 2,5], [БШ, параграфы I.1-I.2, АД.2-АД.3]
Конечные поля. Расширения полей. Конечное поле F_q как фактор-кольцо кольца многочленов F_p [x]. Количество неприводимых многочленов над F_p . Цикличность мультипликативной группы F_q^* . Конечные расширения полей, cвойства расширения F_q / F_p .
Группа автоморфизмов. Норма и след. Подполя конечных полей. Автоморфизм Фробениуса, цикличность группы Галуа конечного поля. Соответствие Галуа для башни конечных полей. Норма и след для произвольных конечных расширений полей. Дискриминант базиса расширения. Свойства нормы и следа в случае конечных полей.
Корни из единицы. Круговой многочлен. Круговой многочлен, круговое поле. Цикличность группы корней из единицы. Примитивные корни из единицы. Произведение круговых многочленов. Разложение кругового многочлена над конечным полем. Число неприводимых многочленов над конечным полем. Факты о неприводимых многочленах. Критерий неприводимости Эйзенштейна.
Тригонометрические суммы
Источники: [Степ, главы I-II], [IR, главы 7-8,10-11], [Serre, глава I], [LN, главы 2,5], [БШ, параграфы I.1-I.2, АД.2-АД.3]
Характеры. Суммы Гаусса. Характеры конечных абелевых групп. Двойственная группа. Свойства ортогональности. Аддитивные и мультипликативные характеры конечного поля. Суммы Гаусса, обобщённые суммы Гаусса. Соотношение Хассе-Дэвенпорта.
Тригонометрические суммы. Уравнения над конечными полями. Связь тригонометрических сумм с числом решений уравнений в конечных полях. Суммы Якоби и их приложения для числа решений уравнений. Теоремы Варинга и Шевалле. Суммы характеров. Неполные суммы характеров. Теорема Виноградова-Пойя.
Дзета функция Артина. Элементы алгебраической геометрии над конечным полем: аффинное и проективное пространства, уравнения как гиперповерхности. Дзета функция Артина, критерий её рациональности. Дзета функция гиперповерхности заданной формой a_0 x_0^m +…+ a_n x_n^m и её рациональность.
p-адические числа
Источники: [БШ, глава I], [Serre, глава II], [Gouv, главы 1-4]
p-адические числа: элементарное определение и свойства. Элементарное определение кольца и поля p-адических чисел. Единицы кольца Z_p . p-показатель и p-адическая метрика. Свойства вложения Q в Q_p . Делимость и сравнения в Z_p . Сходимость последовательностей и рядов p-адических чисел.
Аксиоматическое определение поля p-адических чисел, метризованные поля. Метризованные поля, пополнение по метрике, теорема о существовании и единственности пополнения метризованного поля (без доказательства). Эквивалентность метрик. Метрики поля рациональных чисел, Теорема Островского. Некоторые топологические свойства связанные с неархимедовыми метриками.
Лемма Гензеля, принцип Хассе. Несколько вариантов формулировки Леммы Гензеля. Связь разрешимости сравнений по модулю степени простого с разрешимостью в поле p-адических чисел. Оценка числа решений сравнения по модулю степени простого. Теорема Минковского-Хассе и локально-глобальный принцип (обзорно).
Числовые поля
Источники: [IR, главы 9,12-13], [БШ, глава III], [Marc, главы 2-5], [Cox, параграфы I.4, II.7], [DSV, глава 2]
Кольцо целых гауссовых чисел. Евклидовы кольца, кольца главных идеалов. Однозначность разложения на множители в кольцах главных идеалов. Кольцо гауссовых чисел Z[i] и кольцо чисел Эйзенштейна Z[ω]. Число представлений целого в виде суммы двух квадратов. Суммы четырёх квадратов, связь с алгеброй кватернионов.
Арифметика колец целых алгебраических чисел. Числовые поля, кольца алгебраических целых чисел. Нётеровы кольца. Однозначность разложения в кольце алгебраических целых чисел. Элементы теории Галуа числовых полей. Применение теории Галуа к разложению на простые идеалы в башнях полей и колец.
Квадратичное поле и круговое поле. Квадратичное числовое поле Q( √(d)) и его кольцо целых. Разложимость на простые идеалы. Группа единиц кольца целых квадратичного поля. Число классов идеалов квадратичного поля (обзорно). Круговое поле Q( ζ_m ), простые идеалы соответствующего кольца целых. Приложения для кругового многочлена.

Теорема Поста о конечной порожденности всех замкнутых классов булевых функций.
Описание решетки всех замкнутых классов булевых функций.
Предикатное описание замкнутых классов. Соответствие Галуа.
Классы частичных функций в P_2. Критерий полноты.

Свойства вязкоупругих материалов (ползучесть, релаксация, обратная ползучесть, влияние скорости деформации, температуры и вида напряженного состояния на вид диаграмм деформирования, свойства, проявляемые при циклических нагружениях). Примеры материалов, проявляющих вязкоупругие свойства: полимеры, ВНПМ, ползучесть металлов.
Простейшие модели линейно вязкоупругих сред (одномерный случай). Элементарные модели Максвелла и Фойхта, механические свойства этих моделей. Стандартное линейное тело (трехконстантная модель). Дифференциальные и интегральные формы записи определяющих соотношений простейших моделей. Функции и ядра ползучести и релаксации простейших моделей. Общая дифференциальная форма связи напряжений и деформаций для вязкоупругих моделей. Пределы применимости линейной теории вязкоупругости.
Интегральные представления определяющих соотношений (ОС) линейной теории вязкоупругости (ЛВУ). Принцип суперпозиции Больцмана. Получение интегральных соотношений линейной вязкоупругости из теоремы о представлении линейных функционалов в гильбертовом пространстве (теоремы Рисса). Принцип затухающей памяти. Функции и ядра ползучести и релаксации, примеры. Связь функций (ядер) ползучести и релаксации.
Примеры ядер и функций релаксации и ползучести. Экспериментальные способы их нахождения. Обобщенные модели Максвелла и Фойхта, их функции и ядра ползучести и релаксации. Ядра ползучести Ржаницына, Колтунова, Абеля, Дуффинга и др. Определение функций ползучести и релаксации из экспериментов на ползучесть, релаксацию, экспериментов с постоянной скоростью деформации и нагружения, двузвенного процесса деформации (ramp test), экспериментов на индентирование.
Постановка задачи линейной теории вязкоупругости в трехмерном случае и основные теоремы. ОС ЛВУ в трехмерном случае. Функции сдвиговой и объемной релаксации и ползучести, способы их экспериментального определения. Случай постоянного коэффициента Пуассона. Постановка задачи ЛВУ. Теорема единственности решения задачи ЛВУ. Теорема о простом нагружении.
Применение метода преобразований Лапласа – Карсона к решению задач ЛВУ. Постановка задачи ЛВУ в изображениях и ее связь с постановкой задачи теории упругости. Примеры применения метода: изгиб вязкоупругой балки, вязкоупругий цилиндр под действием внутреннего давления при свободной или жестко закрепленной внешней поверхности. Нахождение оригиналов функций экспериментально-теоретическим методом А.А.Ильюшина и аналитически (решением интегрального уравнения). Метод аппроксимаций А.А.Ильюшина, модифицированный метод аппроксимаций Д.Л.Быкова.
Решение методом преобразований Лапласа – Карсона (Л - К) задачи о скрепленном с упругой оболочкой вязкоупругом цилиндре, находящемся под действием внутреннего давления.
Термовязкоупругость. Термореологически простые материалы. Температурно-временная аналогия. Функция температурно-временного смещения. Формула Вильямса – Ландела – Ферри. Модифицированное время. Теоретическая кривая ползучести (master curve). Пример построения теоретической кривой ползучести с использованием кратковременного эксперимента на ползучесть при высокой температуре. ОС термовязкоупругости. Применение метода преобразований Л – К в задачах линейной термовязкоупругости (ЛТВУ). Связанная задача термовязкоупругости. Предположения о виде функций рассеяния и свободной энергии в ЛТВУ. Вывод уравнения теплопроводности для линейно термовязкоупругого тела из законов термодинамики.
Теории ползучести. Характерные участки кривых ползучести. Теории старения, установившейся ползучести, течения, упрочнения. Применение простейших теорий ползучести для описания ползучести в условиях ступенчатого изменения напряжений и релаксации. Пример: ползучесть лопатки турбины.
Нелинейно вязкоупругие материалы. Пределы применимости линейной теории вязкоупругости. Неуниверсальность функций ползучести и релаксации. Физическая и геометрическая нелинейность свойств вязкоупругих материалов. Примеры ОС нелинейной теории вязкоупругости. Главная кубическая теория. ОС Ю.Н.Работнова, изохронные кривые. Модель Шепери. BKZ – модель. ОС вязкоупругости при конечных деформациях максвелловского типа. НЭТСВУМ.

Однопараметрические непрерывные группы преобразований. Определение и примеры. Уравнения Ли. Инварианты группы. Инфинитезимальный оператор. Инвариантные многообразия. Группы преобразований и пи-теорема.
Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Группы точечных преобразований. Формулы продолжения. Определяющие уравнения. Алгебра Ли операторов симметрии.
Размножение решений с помощью симметрий. Размножение решений линейных уравнений.
Групповая классификация дифференциальных уравнений.
Группы, допускаемые системами дифференциальных уравнений.
Групповая природа замены Флорина–Хопфа–Коула.
Инвариантно-групповые решения. Два подхода к построению инвариантных решений. Автомодельные решения, бегущие волны.
Прямой метод Кларксона–Крускала построения редукций и его обобщение.
Групповой критерий возможности линеаризации нелинейных уравнений.
Классификация инвариантных решений дифференциальных уравнений.

Определяющие соотношения для вязкой жидкости.
Ламинарные течения вязкой жидкости.
Турбулентные течения вязкой жидкости.

Равновесие Нэша. Среднее поле, уравнение Власова.
Слабая сходимость вероятностных мер. Метрика Канторовича. Дифференцирование функций на пространстве вероятностных мер.
Статическая задача теории игр среднего поля. Существование и единственность решений. Построение почти равновесия Нэша.
Мера на траекториях. Сведение дифференциальной игры к статической задаче.
Оптимальное управление, принцип динамического программирования, уравнения Гамильтона-Якоби.
Уравнение непрерывности. Принцип суперпозиции. Вывод системы дифференциальных уравнений теории игр среднего поля.
Стохастические дифференциальные уравнения Маккина-Власова. Нелинейные уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Стохастическое оптимальное управление.
Симметричные стохастические дифференциальные игры.
Основные уравнения на пространстве вероятностных мер. Вывод системы дифференциальных уравнений, описывающих стохастические игры среднего поля.

Образ меры при отображении.
Гауссовские меры на прямой и в многомерном пространстве.
Метод Маллявэна в конечномерном случае.
Гауссовские меры на бесконечномерных пространствах.
Случай гильбертова пространства.
Мера Винера на пространстве непрерывных функций и на L2.
Стохастический интеграл Ито.
Стохастические дифференциальные уравнения.
Формула Ито.
Диффузионные процессы.
Формула Камерона-Мартина.
Теорема Гирсанова.
Классы Соболева по гауссовским мерам.
Бесконечномерные формулы интегрирования по частям.