вторник

Риманова метрика, римановы многообразия, градиент, форма объёма, объём, существование римановой метрики, обратный образ метрики
Связность, ковариантное дифференцирование, символы Кристоффеля, преобразование символов Кристоффеля при замене базиса или координат, кручение связности
Симметрические связности, согласованные с метриками связности, Теорема Леви-Чивиты, связность Леви-Чивиты, подмногообразия римановых многообразий, связность Леви-Чивиты на подмногообразии, вторая квадратичная форма подмногообразия, деривационное уравнение Гаусса, оператор Вейнгартена, связность в нормальном расслоении, деривационное уравнение Вейнгартена
Тензор кривизны Римана, выражение через символы Кристоффеля, запись на языке матриц с элементами из дифференциальных форм, симметрии символов Кристоффеля
Симметрии тензора Римана, тензор Риччи, след билинейной формы с помощью метрики, скалярная кривизна, секционная кривизна, тензор Римана подмногообразия риманова многообразия, уравнение Гаусса, ковариантная производная тензорных полей
Ковариантная производная тензорных полей, уравнение Петерсона-Кодацци-Майнарди, гессиан функции
Дивергенция векторного поля, ковариантная производная тензоров в тензорных обозначениях, различные формулы для дивергенции, оператор Лапласа (Лапласа-Бельтрами)
Связь оператора Лапласа и гессиана, гармонические функции, параллельный перенос, уравнение параллельного переноса в разных формах, теорема существования и единственности для параллельного переноса, сохранение длин и углов при параллельном переносе, геодезическая и нормальная кривизна кривой на поверхности, геодезические, уравнение геодезических в разных формах, сохранение длины вектора скорости геодезических, теорема существования и единственности для геодезических, свойства геодезических
Экспоненциальное отображение на римановом многообразии и его свойства
Дифференциал экспоненциального отображения в нуле, теорема Уайтхеда о нормальной окрестности, геодезические координаты, полугеодезические координаты, геодезические сферы и шары, свойство геодезической быть локально кратчайшей, расстояние между точками на римановом многообразии, риманово многообразие как метрическое пространство, совпадение исходной топологии риманова многообразия и топологии, индуцированной структурой метрического пространства
Геодезическая полнота, кратчайшие кривые, соединяющие данные точки, теорема Хопфа-Ринова, полные римановы многообразия
Локально тривиальные расслоения, векторные локально тривиальные расслоения, сечения, морфизмы расслоений, склеивающие коциклы, операции с векторными расслоениями
Базис в сечениях векторого расслоения, эквивалентность тривиальности векторного расслоения и существования базиса в сечениях, ранг расслоения, факторраслоение, примеры векторных расслоений и их сечений, тензорные поля как сечения, обратный образ расслоения, применение обратного образа касательного расслоения в теории подмногообразий, векторные поля вдоль отображения, связности в векторных расслоениях, обратный образ связности, кривизна связности
Вариационный подход к геодезическим

Определение дзета-функции Римана. Тождество Эйлера. Функциональное уравнение дзета-функции (без доказательства). Кси-функция Римана. Z-функция Харди. Приближённое уравнение дзета-функции (без доказательства).
Вывод формулы Римана-Зигеля для Z(t).
Теорема Харди о том, что Z(t) имеет нуль нечётного порядка на всяком про-межутке вида (T,T+H), H = T^{0.25}(log T)^{2}.
Анализ идей, лежащих в основе доказательства теоремы Харди.
Теорема Корпута об оценке тригонометрической суммы по k-й производной (без доказательства). Теорема Мозера.
Теорема о замене тригонометрической суммы более короткой (без доказа-тельства). Её применение к тригонометрической сумме специального вида, ко-торая встречается при исследовании нулей Z(t) на коротких промежутках.
Теорема Карацубы о нулях Z(t) на коротких промежутках.
Нули Z(t) на длинном промежутке вида (T,2T). Обсуждение различных идей и подходов к нижней оценке числа нулей на таком промежутке.
Теорема Харди-Литтлвуда.

Чебышевские множества и подпространства.
Свойства метрической проекции.
Проблема выпуклости.
Чебышевские подпространства в классических банаховых пространствах.
Солнечность и связность чебышевских множеств.

Эконометрика временных рядов: цели, задачи, методология. Финансовая эконометрика как один из разделов эконометрики временных рядов.
Одномерные модели временных рядов: стационарность, сезонность, ARMA и ARIMA модели, ETS модели. Прогнозирования в финансово-экономических задачах.
Многомерные модели временных рядов: коинтеграция, векторные авторегрессии и их расширения. Финансовые приложения.
Модели пространства состояний и фильтр Калмана.
Модели волатильности: стохастическая волатильность, (G)ARCH модели и их обобщения для многомерного случая, HAR-модели.
Структурные сдвиги.
Нелинейные модели финансовых временных рядов: модели с марковским переключением, полупараметрические модели временных рядов.