среда

Генератор случайных чисел; обратный метод; метод AR.
Моделирование нормального распределения; квазислучайные числа.
Моделирование стохастических процессов и численные схемы для СДУ.
Техники снижения дисперсии.
Копулы.
Оценки чувствительностей. Расчеты греков.
Напоминание из теории цепей Маркова. Марковское ядро, свойства. Определение однородной цепи Маркова с произвольным пространством состояний. Эргодичность марковского ядра в смысле расстояния по вариации.
Обратимость во времени (reversibility). Алгоритм Метрополиса-Гастингса. Алгоритм Гиббса, примеры применения.
Алгоритмы MCMC на основе динамики Ланжевена - ULA, MALA. Их теоретические свойства. Метрика Канторовича-Вассерштейна, анализ скорости сходимости алгоритма ULA в метрике Канторовича-Вассрештейна.
Алгоритм HMC (Гамильтонов Монте-Карло), его свойства.
Алгоритм AIS (annealed importance sampling) и его свойства.
Алгоритмы MCMC с параллельной генерацией из порождающего распределения - i-SIR.
Применение MCMC в генеративном моделировании.

Элементарная математика (функции и функциональные уравнения).
Теория чисел.
Матрицы, определители, системы линейных и нелинейных уравнений.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
Матанализ: предел и непрерывность, числовые и функциональные ряды и последовательности.
Комплексные числа и действия над ними.
Задачи теории функций комплексного переменного и задачи, решающиеся методами теории функций комплексного переменного.
Элементы высшей алгебры.
Комбинаторика.
Теория игр.
Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения.
Рекуррентные соотношения.
Пространственная геометрия.
Задачи с неравенствами.
Теория вероятностей

Голоморфные функции.
Комплексные и эрмитовы структуры.
Голоморфные дифференциальные формы.
Комплексные многообразия: определения и примеры.
Голоморфные линейные расслоения.
Дивизоры и линейные расслоения.
Проективное пространство.
Раздутия.
Кэлеровы тождества.
Теория Ходжа.
Теоремы Лефшеца.
Эрмитовы расслоения.
Связности и кривизна.
Классы Чженя.

Ламинарные и турбулентные течения. Понятие турбулентности. Примеры турбулентных течений. Признаки турбулентных течений. Методы измерений скорости в турбулентных потоках. Средние и пульсационные характеристики.
Точные решения уравнений Навье-Стокса. Плоские течения Куэтта и Пуазеля. Течение Тейлора-Луэтта между вращающимися цилиндрами.
Приближённые решения уравнений Навье-Стокса. Уравнения Прандтля. Аэродинамический след за телом. Течение Блазиуса. Затопленная струя.
Уравнения для малых возмущений. Теорема Сквайра. Уравнения Рэлея и Орра-Зоммерфельда.
Невязкая теория устойчивости. Необходимые и достаточные условия. Теоремы Рэлея и Фьёртофта.
Вязкая теория устойчивости. Достаточные условия. Возмущения при больших числах Рейнольдса.
Эксперименты по переходу к турбулентности в пограничных слоях.
Переход к турбулентности в трубах и каналах. Эксперименты Рейнольдса. Образование локализованных структур.
Численное моделирование турбулентных локализованных структур. Спонтанное образование локализованных структур. Условно-периодические решения, их свойства.
Алгебраическая неустойчивость. Невязкая теория. Вязкая теория. Оптимальные возмущения. Роль модальной и немодальной неустойчивости при переходе к турбулентности.
Абсолютная и конвективная неустойчивость. Развитие локализованного возмущения

Понятие турбулентности. Примеры турбулентных течений. Признаки турбулентных течений. Методы измерений скорости в турбулентных потоках. Средние и пульсационные характеристики.
Переход к турбулентности. Эксперименты Рейнольдса. Нижнее и верхнее критическое число Рейнольдса.
Методы расчёта турбулентных течений. RANS, LES, DNS. Полуэмпирические модели турбулентности. Подсеточные модели.
Турбулентное течение в длинной трубе. Задача линейной устойчивости. Математическая постановка задачи решения трёхмерных уравнений Навье-Стокса.
Начальные условия. Поведение решения при разных начальных условиях. Выход на статистически стационарный режим.
Средние характеристики установившегося турбулентного течения. Закон сопротивления. Вязкие масштабы. Логарифмический профиль скорости. Напряжения Рейнольдса.
Течение в плоском канале. Течение Пуазейля. Двумерные нелинейные бегущие волны. Трёхмерное турбулентное течение.
Организованные структуры в пристенных течениях. Продольные вихри и продольные полосы их масштабы и взаимное расположение. Влияние организованных структур на устойчивость среднего течения.
Модели образования организованных пристенных структур. Алгебраическая неустойчивость, оптимальные возмущения. Модификации критерия оптимальности. Учёт турбулентной вязкости. Неустойчивость среднего течения под действием напряжений Рейнольдса.
Методы снижения турбулентного трения. Продольные рёбра (риблеты). Осцилляции обтекаемой поверхности. Совместное действие риблет и осцилляций.
Пространственный подход к моделированию турбулентности. Граничные условия на выходной границе. Условия на входе. Турбулентные входные условия.
Образование пространственно-периодического турбулентного течения в трубе под действием входных граничных условий. Турбулентные входные условия. Образование периодичности. Скорость роста малых возмущений в развитом турбулентном потоке. Старший показатель Ляпунова.

Абстрактные автоматы
Структурные автоматы
Сложность управляющих систем

Линейная упругость. Изотропия. Вывод закона Гука на основе одномерного
макроэксперимента
Ковариантность. Соотношение Гамильтона-Кэли. Физически нелинейная изотропная
упругость. Тензорная нелинейность. Девиаторная связь (деформационная теория)
Базовые тензоры. Их линейная независимость. Пример связи трех тензоров.
Однонаправленный композит. Эталонные эксперименты. Полный набор упругих
постоянных
Особенности нелинейной упругости. Отделимость девиаторных составляющих. Потеря
изотропии для соотношения в приращениях
Термодинамика однородных процессов при малых деформациях. Функции и
функционалы внутренних параметров. Законы термодинамики
Неравенство диссипации. Примеры его применения. Упругость. Нелинейная вязкость
КПД тепловой машины. Классические условия на КПД. Следствие для работы
внутренних сил на замкнутом цикле
Содержательность неравенства диссипации для больших деформаций. Проблема выбора обобщенных деформаций и напряжений. Возможность использования тензоров типа Лагранжа. Пара: градиент перемещений и тензор Пиола. Упругий потенциал
Формулировка задачи для больших деформаций в лагранжевых переменных. Уравнение движения с тензором Пиолы. Потенциал связи тензора Пиолы и градиент перемещения для упругости. Краевая задача
Общий энергетический критерий хрупкого разрушения. Его формулировка через
коэффициент интенсивности для трех типов разрушений
Атомная структура. Перемещение атомных стенок. Силы Ван-дер-Ваальса. Модули Юнга и сдвига. Теоретическая и реальная прочность
Энергия разрушения. Трещина и критическое усилие при растяжении. Общий случай
нагружения. Идея о критическом значении коэффициента интенсивности. Основы
линейной механики разрушения
Дефекты кристаллической решетки. Дислокации. Краевые и винтовые дислокации.
Напряженно-деформированное состояние и энергия дислокаций
Взаимодействие дислокаций с полем внешних сил. Общий случай и случай сдвига
Две краевые дислокации. Кольцевая дислокация. Стенка дислокаций. Полоса
скольжения. как источник зарождения микротрещин
Оценка числа дислокаций. Воспроизведение дислокаций. Механизм Франка-Рида. Ширина дислокации. Формула Пауэрса. Интегральные свойства скольжения в монокристалле. Системы скольжения. Предельные напряжения. Гранецентрированная
кубическая решетка
Поликристаллическое тело. Теория скольжения Батдорфа-Будянского. Феноменологические варианты теории скольжения. Сопоставление качественных особенностей теории течения и теории скольжения. Сингулярная пластичность
Геометрическое представление процессов нагружения и деформирования частицы среды. Гипотезы геометрического порядка. Физический смысл постулата изотроnии. Примеры использования геометрических гипотез. Пятичленная формула
Макроэксперимент как основа формирования разрешающей системы уравнений в
континуальной механике. Возможности и ограничения. Принцип макродетерминизма.
Соответствующее ограничение на форму определяющих соотношений в пластичности.
Примеры невыполнения этого принципа и последствия

Усиленный закон больших чисел Колмогорова.
Теорема Пуассона. Теорема Ле Кама.
Закон повторного логарифма.

Байесовский подход
Последовательный байесовский критерий
Байесовский классификатор
Предельное распределение статистик критерия множителей Лагранжа и критерия Вальда