пятница

Введение в теорию полей
Введение в теорию идеалов
Алгоритм Ленстры
Гиперэллиптические кривые
Спуск Вейля
Спаривания

Язык программирования Python, библиотеки numpy
Построение графиков в Python, библиотека matplotlib
Автоматическое регулирование с обратной связью, компоненты системы управления
Моделирование случайных процессов, датчик псевдослучайных чисел, метод Монте-Карло
Метод рекуррентных соотношений, мгновенная и средняя скорость изменения величины
Моделирование полёта ракеты: законы Ньютона, сопротивление атмосферы, барометрическая формула

Введение в теорию формальных языков.
Иерархия Хомского.
Конечные автоматы.
Автоматы с магазинной памятью (МП‑автоматы).
Синтаксический анализ для КС‑языков.
Практикум.

Алгебры Ли. Матричные алгебры Ли. Алгебры Ли векторных полей и
дифференциальные операторы. Структурные константы и тождество
Якоби. Многообразие алгебр Ли и орбиты действия группы GL(n).
Задача классификации алгебр Ли.
Подалгебра в алгебре Ли. Идеал. Простая алгебра Ли. Внешняя прямая сумма алгебр Ли.
Линейное представление алгебры Ли. Присоединенное представление.
Центр алгебры Ли. Дифференцирование алгебры Ли. Алгебра Ли дифференцирований.
Убывающий центральный ряд. Производный ряд. Нильпотентная алгебра Ли. Разрешимая алгебра Ли. Многообразия нильпотентных и разрешимых алгебр Ли.
Теорема Энгеля (идея доказательства). Критерий нильпотентности
алгебры Ли. Возрастающий центральный ряд.
Разрешимый радикал алгебры Ли. Свойства разрешимых идеалов алгебры Ли. Полупростая алгебра Ли. Теорема Ли (идея доказательства).
Коммутирующие операторы. Корневое разложение относительно коммутативной подалгебры
Свойства корневого разложения и достаточное условие полупростоты
алгебры Ли.
Симметрическая инвариантная билинейная форма на алгебре Ли. Идеал и его ортогональное дополнение. Форма Киллинга.
Критерий Картана разрешимости подалгебры в полной линейной алгебре Ли. Разложение Жордана линейного оператора. Существование
невырожденной инвариантной симметрической формы у полупростой
алгебры Ли.
Разложение полупростой алгебры Ли в прямую сумму простых алгебр.
Классические комплексные простые алгебры Ли.
Корневое разложение и инвариантная симметрическая билинейная форма. Связанные корни и достаточное условие простоты алгебры Ли.
Свойства корневого разложения sl(n, C).
Понятие торической подалгебры. Максимальный тор. Понятие картановской подалгебры. Максимальная нильпотентная подалгебра. Ранг алгебры Ли. Борелевская подалгебра простой алгебры Ли.
Конечномерные неприводимые представления алгебры Ли sl(2, C). Абстрактные системы корней и матрицы Картана. Примеры ранга два
Простые корни. Фундаментальная система корней. Положительные и отрицательные корни. Группа Вейля.
Схемы Дынкина и классификация простых комплексных алгебр Ли
Соотношения Серра. Понятие обобщенной матрицы Картана. Алгебры Каца-Муди и алгебры петель алгебры Ли. Простейшие примеры

Случайные процессы и динамические системы
Стохастические свойства
Эргодические теоремы
Свойства возвращаемости
Спектр эргодических систем
Энтропия Колмогорова-Синая
Коциклы динамических систем
Гиперболические системы

Лабиринты: прямоугольные, мозаичные, шахматные.
Перемещение независимых систем автоматов в лабиринтах.
Возможность обхода конечных мозаичных лабиринтов конечными автоматами.
Теорема Будаха-Подколзина (невозможность обхода конечным автоматом всех мозаичных лабиринтов).
Обход автоматом конечных односвязных шахматных лабиринтов.
Обход конечным автоматом конечных лабиринтов с ограниченными внутренними дырами.
Перемещение в лабиринтах коллективов автоматов.
Периодичность поведения системы автоматов в конечных лабиринтах.
Пример непериодического поведения коллектива автоматов.
Автоматы со счётчиками.
Обход произвольных конечных шахматных лабиринтов автоматом со счётчиком.
Обход произвольных конечных шахматных лабиринтов коллективом автоматов.
Обход коллективом автоматов лабиринтов с одной дырой.
Постановка задачи преследования в шахматных лабиринтах.
Поведение конечного автомата в L0.
Задача преследования независимой системой хищников независимой системы жертв в L0.
Поведение конечного автомата в L1.
Задача преследования независимой системой хищников независимой системы жертв в L1.
Поведение конечного автомата в L2(l).
Задача преследования независимой системой хищников независимой системы жертв в L2(l).
Поведение конечного автомата в L3(l) и L4.
Задача преследования независимой системой хищников независимой системы жертв в L3(l) и L4.
Поимка данной жертвы в L0 коллективом хищников.
Существование универсального коллектива хищников в L0.
Существование универсального коллектива хищников в L1, L2(l), L3(l) и L4.
Задача преследования коллективом хищников независимой системы жертв в L5(l).
Нерешённые лабиринтные задачи.

Выпуклость солнц
Выпуклость чебышёвских множеств в Rn. Доказательство В.И. Бердышева -- В.Кли -- Л.П.Власова с помощью теоремы о неподвижной точке.
Выпуклость чебышёвских множеств в Rn. Доказательство Э. Асплунда при помощи метода инверсии единичной сферы
Выпуклость чебышёвских множеств в Rn. Доказательство С. В. Конягина при помощи леммы об очистке.
Выпуклость чебышёвских множеств в Rn. Доказательство Л. П. Власова через delta-солнечность
Связность чебышёвских солнц
Чебышёвские подпространства. Теорема Гаркави.
Теорема Асплунда о существовании чебышёвской каверны Кли.
Теорема Крейна-Мильмана
Формулировка теоремы Тихонова о произведении.
Универсальность пространства С[0,1].
Константа Юнга.
Теоремы Радона, Хелли, Каратеодори.
Теорема Джеймса о рефлексивности.
Неравенство Джексона-Стечкина.
Теоремы Урысона и Титце-Урысона. Разбиение единицы.
Пространства Ефимова-Стечкина, CLUR, Дэя-Ошмана, Андерсона-Меггинсона.

Задание точечных решёток в евклидовом пространстве. Решётки и квадратичные формы. Реперы.
Свойства решёток. Леммы Блихфельдта и Минковского.
Подрешётки и центрировки, сечения и проекции решёток.
Минимальные векторы решётки и задача плотнейшей решётчатой упаковки шаров.