12:30-14:05

Линейная регрессия
Регуляризация в регрессионных моделях
GLM-модели.
Классификация
Кластеризация
Байесовский подход

Понятие информации и её кодирование. Помехоустойчивость, увеличение скорости передачи информации, защита информации.
Секретные и открытые ключи. Алфавитное кодирование. Префиксные коды. Неравенство Крафта—МакМиллана. Теорема о минимальной длине префиксного кода.
Циклические коды. Конечные поля. Неприводимые многочлены.
Криптографические протоколы. Протокол для игры ``Орёл-решка’’ по телефону. Электронная подпись.
Сложность арифметических операций. Алгоритм Евклида. Операции в кольце вычетов. Дискретное преобразование Фурье. Наименьший первообразный корень.
Проверка числа на простоту: решето Эратосфена, критерий Вильсона, малая теорема Ферма, числа Кармайкла, тесты Соловея—Штрассена, Рабина—Миллера.
Полиномиальный тест проверки на простоту.
Построение больших простых чисел. Критерий Люка. Числа Мерсенна.
Алгоритмы разложения натуральных чисел на множители. Метод квадратичного решета.
1Криптографическая система RSA. Задача об укладке рюкзака. ``Рюкзачная’’ система шифрования. Криптографические хеш-функции.
Китайская теорема об остатках. Арифметический вариант шифра Виженера.

Сложность алгоритмов
Методы разделяй и властвуй
Структуры данных. Деревья поиска.
Алгоритмы на графах
Жадные алгоритмы
Динамическое программирование

Элементы дифференциальной геометрии, тензорной алгебры и тензорного анализа, необходимые для построения моделей в механике.
Кинематика подвижного континуума. Подходы Лагранжа и Эйлера. Описание конечных и малых деформаций соответствующими тензорами. Формулы Чезаро. Тензор несовместности. Уравнения Сен-Венана.
Механические напряжения. Формула Коши. Три закона МДТТ и соответствующие уравнения: закон сохранения массы и уравнение неразрывности; закон изменения количества движения и уравнение движения сплошной среды; закон изменения момента количества в форме закона парности касательных напряжений. Площадки максимальных касательных напряжений. Круги Мора.
Тензор Пиолы и его несимметричность. Теорема живых сил в актуальной конфигурации (тензор Коши) и в отсчетной конфигурации (тензор Пиолы).
Изотермическая модель линейно-упругого материала. Обобщенный закон Гука. Упругие модули и податливости. Упругий потенциал. Типы симметрии упругих модулей.
Изотропный материал. Модули Ламе. Закон Гука и обратный закон Гука для изотропного материала. Технические константы: модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Уравнения движения Ламе. Уравнения Бельтрами-Митчелла.
Постановка общей краевой статической задачи математической теории упругости. Ослабление граничных условий: принцип Ceн-Beнана. Теорема единственности решения краевой статической задачи. Полуобратный метод Сен-Венана. Формулы Чезаро для простейших задач математической теории упругости. Простейшие задачи: всестороннее равномерное сжатие односвязной области; чистый сдвиг упругого слоя; осевое растяжение призматического стержня; растяжение стержня под действием собственного веса; кручение круглого призматического бруса; чистый изгиб призматической прямой балки.
Задача Ламе о деформировании упругой толстостенной упругой трубы под действием внутреннего и внешнего давлений.

Ударный импульс. Основные уравнения и теоремы теории удара.
Удар в системе с идеальными голономными связями.
Удар твердого тела о поверхность. Абсолютно упругий удар шара..
Удар двух тел.
Возможные и касательные перемещения. Аксиома мгновенного удара.
Принцип Даламбера-Лагранжа в гладкой механике. Лемма об аннуляторе.
Уравнения Лагранжа первого рода. Основные законы гладкой механики.
Принцип Даламбера-Лагранжа в теории удара. Уравнения Лагранжа первого рода. Лемма о знаке коэффициента.
Основные законы динамики мгновенного удара.
Основное уравнение удара в лагранжевых координатах.
Теорема Аппеля. Кинетическая метрика. Модель Ньютона неупругого соударения.
Теоремы Карно.
Симметричный конек Чаплыгина - движение по инерции и удар о прямую.
Односторонний конек Чаплыгина - безударность выхода на связь.
Безударность неголономных односторонних связей в общем случае.
Циклические интегралы. Метод Рауса.
Фазовый портрет систем с одной степенью свободы.

Системы ОДУ: фазовый поток, первые интегралы, инвариантные меры, теорема Лиувилля об инвариантных мерах с гладкой плотностью.
Ограничение инвариантной меры на множество уровня первого интеграла. Инвариантная мера отображения Пуанкаре.
Отображение Пуанкаре, его первые интегралы и инвариантные меры.
Отображение Пуанкаре периодической траектории. Мультипликаторы, гиперболичность, условия орбитальной устойчивости.
Теоремы Пуанкаре о возмущении невырожденных периодических траекторий.
Теорема Пуанкаре о возвращении .
Симплектические многообразия. Теорема Дарбу. Инвариантная форма уравнений Гамильтона.
Симплектичность отображения Пуанкаре гамильтоновой системы. Свойства мультипликаторов периодических траекторий гамильтоновых систем.
Скобка Пуассона, порожденная симплектической структурой. Коммутирующие гамильтоновы потоки.
Вырожденные скобки Пуассона. Примеры из динамики твердого тела.
Вполне интегрируемые гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля-Арнольда (без доказательства).
Переменные действие-угол гамильтоновой системы с одной степенью свободы.
Устойчивые и неустойчивые многообразия гиперболического состояния равновесия и гиперболической периодической траектории.
Сеператрисы гамильтоновой системы с полутора степенями свободы. Расщепление сепаратрис.
Функция Пуанкаре-Мельникова, существование трансверсальных гомоклинических точек.
Стандартное отображение Чирикова. Антиинтегрируемый предел. Понятие о хаотических системах.

Основные соотношения механики деформируемого твердого тела. Слабая (вариационная) постановка задач прочности. Поиск решения в пространстве обобщенных функций. Эквивалентность двух постановок. Методы решения вариационных постановок задач прочности, методы взвешенных ошибок: метод коллокаций, метод наименьших квадратов, метод Галеркина. Основы метода конечных элементов (МКЭ). Функции формы. Интегрирование базисных функций. Применение МКЭ для решения задач теории упругости путем минимизации потенциальной энергии деформаций, эквивалентность с методом Галеркина для линейного случая. Типы конечных элементов. Построение конечноэлементных сеток в 2D и 3D. Адаптивные сетки. Вычислительная геометрия. Индексация элементов. Оптимальная нумерация, пространственно плотные кривые. Ассемблирование элементов. Локальные и глобальные матрицы жесткости. Способы хранения разреженных матриц. Решение СЛАУ с разреженной матрицей. Прямые и итерационные методы. Применение переобуславливателей. Сведение уравнений теории упругости к уравнениям МКЭ. Граничные условия. Конечные деформации. Геометрическая нелинейность. Физически нелинейные задачи. Метод Ньютона. Модифицированный метод Ньютона. Нахождение результатов. Согласованные результанты элемента. Сглаживание напряжений. Несжимаемые материалы. Смешанная постановка. Решение на разнесенных сетках. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицей седлового типа. Смешанная постановка задач упругости. Вязкоупругие материалы. Интегралы свертки. Динамические задачи. Схемы Ньюмарка. Неотражающие граничные условия. О решении контактных задач. Общие сведения о модификации МКЭ. Элементы высокого порядка. Квадратуры Гаусса. Метод спектральных элементов (МСЭ). Выбор численного метода. Сравнение метода конечных элементов (МКЭ) и метода спектральных элементов (МСЭ). Трёхмерные задачи нестационарной теории упругости . МСЭ для полностью неоднородных сред. Моделирование акустического каротажа в анизотропной вязкоупругой среде трёхмерным методом спектральных элементов (МСЭ). Оптимизация вычислений. Раскраска сетки. Общие сведения о применении видеопроцессоров. Стандарт CUDA. Архитектура вычислений. Типы памяти. Примеры быстрой реализации алгоритмов: перемножение матриц, параллельное суммирование вектора. Построение локальной и глобальной матрицы жесткости на CUDA. Раскраска элементов и атомарные операции. Решение СЛАУ на CUDA. Интегрирование по времени. Использование методов библиотеки CUBLAS. Реализация на CUDA схем высокого порядка точности. Использование кэша, разделяемой памяти. Расчеты на гибридных кластерах. MPI/MultiGPU распараллеливание. Иерархия параллельных процессов, потоков. Синхронизация и обмен данными.

Метод функций Ляпунова в неавтономном случае. Функции Хана.
Устойчивость линейных систем. Теория Флоке-Ляпунова.
Теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости по первому приближению для периодических систем. Критерий локализации корней полиномов внутри единичного круга.
Устойчивость по части переменных. Теоремы Румянцева.
Орбитальная устойчивость. Теоремы Ляпунова и Пуанкаре.
Устойчивость линейных гамильтоновых систем. Примеры локализации корней полиномов на мнимой оси и на единичной окружности.
Основные теоремы метода осреднения.
Критические случаи в стационарных системах. Приведение к каноническому виду.
Критический случай одного нулевого корня и его связь с ветвлением стационарных решений.
Критический случай пары чисто мнимых корней и его связь с рождением периодических решений.
Особенный случай нескольких нулевых корней и его связь с наличием семейств стационарных решений.
Критические случаи в периодических системах.
Устойчивость и бифуркация движений трехколесного робота.
Устойчивость перманентных вращений «кельтского камня».
Устойчивость верхнего положения равновесия математического маятника с вибрирующей точкой подвеса.