Игры среднего поля
Слабая сходимость вероятностных мер. Метрика Канторовича. Дифференцирование функций на пространстве вероятностных мер.
Статическая задача теории игр среднего поля. Существование и единственность решений. Построение почти равновесия Нэша.
Мера на траекториях. Сведение дифференциальной игры к статической задаче.
Оптимальное управление, принцип динамического программирования, уравнения Гамильтона-Якоби.
Уравнение непрерывности. Принцип суперпозиции. Вывод системы дифференциальных уравнений теории игр среднего поля.
Стохастические дифференциальные уравнения Маккина-Власова. Нелинейные уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Стохастическое оптимальное управление.
Симметричные стохастические дифференциальные игры.
Основные уравнения на пространстве вероятностных мер. Вывод системы дифференциальных уравнений, описывающих стохастические игры среднего поля.
D.A. Gomes, E.A. Pimentel, V. Voskanyan, Regularity Theoryf or Mean-Field Game Systems, Springer, 2016.
Y. Achdou et al., Mean Field Games, Cetraro, Italy, 2019.
R. Carmona, F. Delarue, Probabilistic Theory of Mean Field Games with Applications, Springer, 2017.
P. Cardaliaguet, Notes on mean field games, Technical report, 2010.
Игры среднего поля (Mean Field Games или кратко MFG) — активно развивающееся направление математических исследований на стыке теории меры, теории игр, теории диффузионных процессов и теории нелинейных уравнений с частными производными. Основная задача теории игр среднего поля состоит в описании равновесия Нэша в дифференциальной игре с большим числом игроков.
В рамках данного курса будут рассмотрены элементы теории меры, включая метрику Канторовича и различные способы дифференцирования функций на пространстве вероятностных мер, уравнения непрерывности, принцип суперпозиции, принцип динамического программирования, уравнения Гамильтона-Якоби.
Также будут выведена и исследована основная система уравнений теории игр среднего поля, исследованы стохастические игры среднего поля. Таким образом, на примере красивых и сложных задач теории игр среднего поля данный курс позволит познакомиться с полезными методами и идеями из нескольких математических дисциплин.