18:30-20:05

Подробная информация о курсе: https://vega-education.org/courses#scourses

Курс посвящен теории дифференциальных уравнений, управляемых нерегулярными траекториями. Такие уравнения возникают в разнообразных задачах, в которых изменение состояния системы зависит не только от длины временного промежутка и состояния системы в настоящий момент времени, но и от изменения некоторого дополнительного параметра. Например, движение автомобиля зависит не только от его положения и скорости, но и от поворота руля. Другой пример доставляют процессы, управляемые стохастическими уравнениями, когда изменение состояния системы зависит от приращения случайного процесса. Поскольку управляющая траектория нерегулярна, то линейные интерполяции (то есть приращения) плохо описывают траекторию и не позволяют построить решение соответствующего уравнения. Возникает естественный вопрос: что еще (кроме приращений) надо знать о негладкой траектории? T. Lyons предложил вместе с приращениями рассматривать повторные интегралы по траекториям, исследовал их алгебраическую структуру и построил решение уравнения в виде функции, зависящей от управляющей траектории и последовательности повторных интегралов
по этой траектории, причем оказалось, что такое сопоставление непрерывно. Дальнейшее развитие теории грубых траекторий привело к созданию M. Hairer теории регулярных структур, позволившей исследовать нелинейные стохастические уравнения с частными производными.

elenakoldoba@mail.ru

Модулярные формы — классический и фундаментальный объект, появляющийся во многих на первый взгляд не связанных друг с другом разделах математики. Первые шаги теории модулярных форм были сделаны в контексте теории эллиптических функций и римановых поверхностей. Дальнейшее развитие этой области показало, что модулярные формы и функции появляются повсюду, от теории чисел и теории представлений до упаковок шаров. Например, значения j-инварианта порождают абелевы расширения мнимоквадратичных полей, а его коэффициенты содержат в себе информацию о самой большой спорадической конечной простой группе — Монстре. Многие классические соотношения теории чисел, такие как формула Якоби для количества способов представить данное натуральное число в виде суммы четырех квадратов, являются следствиями соотношений между коэффициентами Фурье модулярных форм. В данном курсе будут обсуждаться базовые результаты о модулярных формах, возможно с некоторым уклоном в сторону теории чисел (это связано с предпочтениями автора курса). Если на это хватит времени, то мы поговорим также о том, какую роль играют модулярные формы в доказательстве Великой Теоремы Ферма.

Вся актуальная информация о курсе будет в группе в tg:

https://t.me/+hsjxTxgGwLI1Mjgy

Цель спецкурса - рассказать об унитарных представлениях группы SL(2,R) (группы вещественных матриц порядка 2 с определителем 1) и об их применениях к теории специальных функций. Фактически, разные естественные вопросы о представлениях приводят к ответам, где появляются гипергеометрические функции разного уровня (функции Бесселя $_0F_1$, вырожденные гипергеометрические функции $_1F_1$, функции Гаусса $_2F_1$ и более сложные функции, $_3F_2$, $_4F_3$), при этом представления позволяют получать различные тождества для этих функций. Естественным образом возникают также различные системы ортогональных многочленов, от многочленов Эрмита и Лагерра до многочленов Рак'а и Вильсона.

Предварительных познаний по представлениям (за пределами алгебры 2 курса) и специальным функциям не предполагается. Предполагается знакомство с гильбертовыми пространствами.