Методы Монте-Карло

Название спецкурса на английском языке
Monte Carlo methods
Авторы курса
Китапбаев Еркин, Самсонов Сергей Владимирович, Сотников Дмитрий Михайлович, Федяшин Никита Александрович
Пререквизиты
Уверенное владение базовым курсом математического анализа, линейной алгебры, теории вероятностей, в частности, понимание условных математических ожиданий и условных вероятностей, знание случайных процессов и математической статистики. Знакомство с основными понятиями теории меры: сингулярные и абсолютно непрерывные меры, разложение Жордана-Хана, расстояние полной вариации. Кроме того, необходимы некоторые базовые навыки программирования.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Фонд "Институт Вега"]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Генератор случайных чисел; обратный метод; метод AR.
Моделирование нормального распределения; квазислучайные числа.
Моделирование стохастических процессов и численные схемы для СДУ.
Техники снижения дисперсии.
Копулы.
Оценки чувствительностей. Расчеты греков.
Напоминание из теории цепей Маркова. Марковское ядро, свойства. Определение однородной цепи Маркова с произвольным пространством состояний. Эргодичность марковского ядра в смысле расстояния по вариации.
Обратимость во времени (reversibility). Алгоритм Метрополиса-Гастингса. Алгоритм Гиббса, примеры применения.
Алгоритмы MCMC на основе динамики Ланжевена - ULA, MALA. Их теоретические свойства. Метрика Канторовича-Вассерштейна, анализ скорости сходимости алгоритма ULA в метрике Канторовича-Вассрештейна.
Алгоритм HMC (Гамильтонов Монте-Карло), его свойства.
Алгоритм AIS (annealed importance sampling) и его свойства.
Алгоритмы MCMC с параллельной генерацией из порождающего распределения - i-SIR.
Применение MCMC в генеративном моделировании.
Список источников
N. De Freitas Doucet A. Sequential Monte Carlo methods in practice. New York: Springer, 2001.
Paul Glasserman. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer, 2003.
Ali Hirsa. Computational Methods in Finance. Chapman Hall/CRC, 2012.
Tweedie RL Meyn SP. Markov chains and stochastic stability. Springer Science Business Media, 1993.
R.M Neal. Annealed importance sampling. Statistics и computing, 11, pp.125-139, 2001.
Дополнительная информация

Подробная информация о курсе: https://vega-education.org/courses#scourses

Этот курс посвящен изучению и применению методов Монте-Карло, являющихся мощным инструментом для решения широкого спектра задач в различных областях. Обучение будет проводиться как посредством теоретического анализа, так и практической реализации изученных концепций.
Первая часть курса будет посвящена вычислительным методам (в основном, методам Монте-Карло), используемым для ценообразования производных инструментов, управления рисками, а также для оценки и калибровки моделей. Мы рассмотрим следующие темы: генерация случайных чисел, дискретизация стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), анализ результатов моделирования/симуляций, методы снижения дисперсии, моделирование копул, вычисление чувствительности опционов.

Вторая часть курса будет посвящена методам Монте-Карло по схеме марковских цепей (MCMC), включая их теоретические основы и практические применения. Будут рассмотрены алгоритмы Гиббса, Метрополиса-Гастингса, ULA, MALA, HMC и AIS. Завершающим аккордом будет изучение применения MCMC в генеративном моделировании.

День недели
среда
Время
20:15-21:50
Аудитория
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Метод комплексного ростка Маслова и квазиклассические асимптотики

Название спецкурса на английском языке
Maslov’s complex germ method and semiclassical asymptotics
Авторы курса
Назайкинский Владимир Евгеньевич
Пререквизиты
Знание математики в объеме 1-3 курсов мехмата МГУ.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Институт теоретической и математической физики]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Общая конструкция канонического оператора
Лагранжевы многообразия с комплексным ростком
Канонический оператор на лагранжевом многообразии с комплексным ростком
Приложения к конкретным задачам
Список источников
В.П.Маслов, Операторные методы, М., «Наука», 1973.
В.П.Маслов, Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, М., «Наука», 1977.
В.П.Маслов, О.Ю.Шведов, Метод комплексного ростка в задаче многих частиц и квантовой теории поля, М., URSS, 2000.
Дополнительная информация

Первая лекция 19 сентября. Лекции проводятся онлайн.

День недели
четверг
Время
20:15-21:50
Аудитория
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Введение в блокчейн и распределенные финансы I

Название спецкурса на английском языке
Introduction to blockchain and distributed finance I
Авторы курса
Фантаццини Деан, Березовский Ростислав Геннадьевич, Крестенко Анатолий Алексеевич
Пререквизиты
Наличие базовых знаний алгоритмов, теории вероятностей, математической статистики и слу-
чайных процессов.
Знание устройства финансового рынка, простейших деривативов, таких как фьючерсы, опционы,
а также принципов работы биржи.
Знание основ синтаксиса языка R, понимание парадигм ООП.
Владение инструментами разработки (git, IDE типа vscode, linux cli/bash), Python (в частности,
библиотеки Pandas, Numpy, Matplotlib, Requests), навык работы с iPython notebook.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Фонд "Институт Вега"]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Децентрализованные системы: структуры данных, шифрова-
ние, алгоритмы достижения консенсуса.
Устройство сети Bitcoin.
Распределенные вычисления, виртуальная машина. Устрой-
ство сети Ethereum.
Масштабирование децентрализованных сетей. Сети второго
слоя.
Финансовое моделирование биткоина и других криптовалют с
использованием R.
Список источников
R. Frey A. McNeil и P. Embrechts. Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and
Tools. Princeton University Press 1–4, 8, 2005.
Darren Lau et al. How to DeFi. ISBN 979-8-6405-7910-9, 2020.
H. Adams et al. Uniswap v3 core. Tech. rep., Uniswap, 2021.
Andreas M. Antonopoulos. Mastering Bitcoin: Unlocking Digital Crypto-Currencies. O’Reilly
Media, Inc. ISBN:978-1-4493-7404-4, 2014.
Andreas M. Antonopoulos и G. Wood. Mastering Ethereum: building smart contracts and dapps.
O’reilly Media Inc, ISBN: 978-1-4919-7194-9, 2018.
M. Castro и B. Liskov. Practical byzantine fault tolerance. OSDI 99.1999, pp. 173–186., 1999.
A. Evans. Liquidity provider returns in geometric mean markets. arXiv preprint arXiv:2006.08806,
2020.
D. Fantazzini. Quantitative Finance with R and Cryptocurrenc. Amazon KDP, ISBN-13 978-
1090685315 chapters 2, 4, 7, 13. url: https://sites.google.com/view/ quafirc., 2019.
N. Zinsmeister H. Adams и D. Robinson. Uniswap v2 core. url: https://uniswap.org/whitepaper.pdf.,
2020.
S. Nakamoto. Bitcoin: A peer-to-peer electronic cash system. url:https://bitcoin.%20org/en/bitcoin-
paper, 2009.
G. Wood. Ethereum: A secure decentralised generalised transaction ledger. Ethereum project
yellow paper. pp. 1–32, 2014.
Дополнительная информация

Более подробная информация представлена на сайте: https://vega-education.org/courses#scourses.

День недели
вторник
Время
20:15-21:50
Аудитория
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов

Название спецкурса на английском языке
Introduction to the spectral theory of differential operators
Авторы курса
Филиновский Алексей Владиславович
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальных уравнений]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2024/25
Список тем
Гильбертово пространство. Линейные и квадратичные функционалы.
Энергетическое пространство и функционал энергии.
Неограниченные операторы. Симметричность и самосопряженность.
Существенная самосопряженность операторов.
Расширение симметричного оператора. Индексы дефекта.
Полуограниченные операторы. Положительные и положительно определенные операторы.
Расширение полуограниченного оператора. Расширение по Фридрихсу.
Спектр замкнутого линейного оператора. Классификация точек спектра. Спектры расширений.
Спектр самосопряженного оператора.
Компактные и относительно компактные возмущения операторов.
Оператор Штурма-Лиувилля. Основные свойства оператора. Регулярный и сингулярный случаи.
Оператор Штурма--Лиувилля на конечном интервале. Асимптотика собственных значений и собственных функций.
Теоремы Штурма.
Оператор Штурма--Лиувилля в сингулярном случае. Оператор Шредингера.
Существенная самосопряженность оператора Шредингера. Теорема Сирса.
Другие условия существенной самосопряженности.
Список источников
Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969.
Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз. 1963.
Дополнительная информация

По всем вопросам просьба писать лектору проф. А.В. Филиновскому на почту flnv@yandex.ru

Изучаются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных операторов на ограниченном интервале. Исследуется асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций, рассматриваются вопросы полноты систем собственных функций. Для операторов на неограниченном интервале рассматриваются вопросы существенной самосопряженности, достаточные условия дискретности спектра, поведение собственных функций.

День недели
понедельник
Время
20:15-21:50
Аудитория
1603
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1603
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.

Ляпуновская, перроновская и верхнепредельная устойчивость

Название спецкурса на английском языке
Lyapunov, Perron and upper-limit stability
Авторы курса
Сергеев Игорь Николаевич
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальных уравнений]
Семестр
Год
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2024/25
Список тем
Устойчивость, асимптотическая устойчивость и полная неустойчивость ляпуновского, перроновского и верхнепредельного типов.
Свойства устойчивости в специальных случаях: одномерном, автономном, линейном.
Классы линейных приближений, обеспечивающих различные виды устойчивости и неустойчивости.
Меры устойчивости и неустойчивости.
Радиальная устойчивость и неустойчивость, её связь с мерами устойчивости.
Контрастные сочетания различных свойств устойчивости и неустойчивости.
Список источников
Сергеев И.Н. О перроновских, ляпуновских и верхнепредельных свойствах устойчивости дифференциальных систем // Тр. сем. им. И.Г.Петровского, вып. 33, 2023.
Дополнительная информация

Определяются естественные понятия перроновской и верхнепредельной устойчивости нулевого решения дифференциальной системы, а также их многочисленные разновидности: от глобальной до частной устойчивости или неустойчивости и аналоги тех же свойств, распространяющиеся не на все, а на почти все возмущённые решения. Исследуются их логические связи с соответствующими ляпуновскими понятиями и друг с другом, со знаками показателей Перрона, Ляпунова и со специальными индикаторами. Изучаются их специфические особенности для одномерных, автономных и линейных систем. В частности, доказывается независимость большинства этих свойств от фазовой области системы. Обнаруживается полное совпадение возможностей исследования по первому приближению устойчивости и асимптотической устойчивости всех трёх типов. Аналогичное совпадение установлено для частичной и частной устойчивости по первому приближению, а в одномерном случае — сразу для всех перечисленных видов устойчивости, равно как и для всех видов неустойчивости.

День недели
пятница
Время
20:15-21:50
Аудитория
1604
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Подписаться на 20:15-21:50