Гармонический анализ на нуль-мерных группах II
Название спецкурса на английском языке
Harmonic analysis on zero-dimensional groups II
Пререквизиты
Действительный анализ (стандартный полугодовой курс)
Основы теории нормированных пространств (достаточно полугодового курса функционального анализа, читаемого на 3-м курсе механико-математического факультета)
Основы теории нормированных пространств (достаточно полугодового курса функционального анализа, читаемого на 3-м курсе механико-математического факультета)
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории функций и функционального анализа]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Интегрирование и дифференцирование банаховозначных функций.
Интеграл типа Курцвейля-Хенстока.
Вычисление банаховозначных коэффициентов ряда по системе характеров нуль-мерных групп.
Интеграл типа Курцвейля-Хенстока.
Вычисление банаховозначных коэффициентов ряда по системе характеров нуль-мерных групп.
Список источников
Г. Н. Агаев, Н. Я. Виленкин, Г. М. Джафарли, А. И. Рубинштейн ; [ред. Ф. Г. Максудов]. Мультипликативные системы функции и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку : ЭЛМ, 1981.
Т.П.Лукашенко, В.А.Скворцов, А.П.Солодов. Обобщенные интегралы. М.: URSS, 2011.
Т.П.Лукашенко, В.А.Скворцов, А.П.Солодов. Обобщенные интегралы. М.: URSS, 2011.
Дополнительная информация
Просьба к желающим слушать спецкурс записаться у лектора по e-mail vaskvor2000@yahoo.com
День недели
среда
Время
16:45-18:20
Аудитория
1226б
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1226б
Статус курса
Запись закрыта
Алгебраические основы теории кодов и линейных рекуррентных последовательностей
Название спецкурса на английском языке
Algebraic foundations of coding theory and linear recurrent sequences
Пререквизиты
Знание основных курсов линейной алгебры и алгебры 3 семестра.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра высшей алгебры]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Основные параметры кодов.
Изометрические преобразования пространства Хэмминга.
Построение новых кодов из заданных.
Основы теории конечных коммутативных колец и модулей над ними.
Квазифробениусовы модули. Линейные коды над квазифробениусовым модулем, двойственность между кодами над кольцом и кодами над квазифробениусовым модулем.
Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП). Периодические последовательности.
Периоды многочленов и ЛРП над полем. Существование и свойства ЛРП максимального периода над конечным полем.
Изометрические преобразования пространства Хэмминга.
Построение новых кодов из заданных.
Основы теории конечных коммутативных колец и модулей над ними.
Квазифробениусовы модули. Линейные коды над квазифробениусовым модулем, двойственность между кодами над кольцом и кодами над квазифробениусовым модулем.
Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП). Периодические последовательности.
Периоды многочленов и ЛРП над полем. Существование и свойства ЛРП максимального периода над конечным полем.
Список источников
1. В.Л. Куракин, А.А. Нечаев. Линейные коды и полилинейные рекурренты.
2. А.А. Нечаев. Конечные квазифробениусовы модули, приложения к кодам и линейным рекуррентам// Фундаментальная и прикладная математика, 1995, Т.1, № 1, 229-254.
3. М.М. Глухов, В.П. Елизаров, А.А. Нечаев. Алгебра, т. 1,2. Изд. «Гелиос АРВ», М., 2003.
2. А.А. Нечаев. Конечные квазифробениусовы модули, приложения к кодам и линейным рекуррентам// Фундаментальная и прикладная математика, 1995, Т.1, № 1, 229-254.
3. М.М. Глухов, В.П. Елизаров, А.А. Нечаев. Алгебра, т. 1,2. Изд. «Гелиос АРВ», М., 2003.
День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
1226б
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Гармонический анализ на нуль-мерных группах I
Название спецкурса на английском языке
Harmonic analysis on zero-dimensional groups I
Пререквизиты
Знание теории меры и интеграла Лебега в пределах курса "Действительный анализ"
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории функций и функционального анализа]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Компактные и локально компактные абелевы нульмерные группы. Примеры: двоичная группа Кантора, группа р-адических чисел. Конструкция меры Хаара на таких группах. Отображение этих групп на действительную ось.
Группа характеров нульмерных компактных групп. Дискретность, ортогональность и полнота этой системы характеров. Примеры: система Уолша, система Прайса и система характеров группы целых р-адических чисел. Введение нумерации в систему характеров.
Ряды Фурье-Лебега и Фурье-Стилтьеса по системе характеров. Меры Райхмана на группах.
Формулы для ядра Дирихле и для частных сумм ряда Фурье. Константы Лебега.
Дифференциальный базис на компактной абелевой нульмерной группе, понятие производной относительно базиса. Связь между сходимостью ряда Фурье-Стилтьеса и дифференцируемостью соответствующей меры.
Группа характеров нульмерных компактных групп. Дискретность, ортогональность и полнота этой системы характеров. Примеры: система Уолша, система Прайса и система характеров группы целых р-адических чисел. Введение нумерации в систему характеров.
Ряды Фурье-Лебега и Фурье-Стилтьеса по системе характеров. Меры Райхмана на группах.
Формулы для ядра Дирихле и для частных сумм ряда Фурье. Константы Лебега.
Дифференциальный базис на компактной абелевой нульмерной группе, понятие производной относительно базиса. Связь между сходимостью ряда Фурье-Стилтьеса и дифференцируемостью соответствующей меры.
Список источников
Г.Н. Агаев, Н.Я. Виленкин, Г.М. Джафарли, А.И. Рубинштейн, Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах, Баку, 1981.
Б.И. Голубов, А.В. Ефимов, В.А. Скворцов, Ряды и преобразования Уолша, URSS, 2008.
Б.И. Голубов, А.В. Ефимов, В.А. Скворцов, Ряды и преобразования Уолша, URSS, 2008.
Дополнительная информация
Просьба к желающим слушать спецкурс записаться у лектора по e-mail vaskvor2000@yahoo.com . Окончательные день недели и время будут согласованы со слушателями.
День недели
среда
Время
16:45-18:20
Аудитория
1226б
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1226б
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Алгебраические структуры в информатике
Название спецкурса на английском языке
Algebraic structures in computer science
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теоретической информатики]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2025/26
Список тем
Неотрицательные матрицы и их приложения. Матрицы для графов. Графы для матриц.
Тропическая алгебра. Построение регулярного расписания и другие приложения.
Бинарные отношения.
Автоморфизмы и эндоморфизмы графов. Инварианты графов.
Свойства перманента.
Квазигруппы в криптографии.
Алгоритм вращения при помощи кватернионов.
Некоммутативная криптография. Тропическая криптография.
Различные разложения матриц.
Вопросы:
1. Неотрицательные матрицы. Перестановочная матрица. Неразложимая матрица. Критерии неразложимости.
2. Сильно связный граф. Определение сильной связности графа через отсутствие собственных замкнутых подграфов.
3. Примитивные матрицы. Связь с графами.
4. Спектр, радиус матрицы.
5. Теорема Перрона-Фробениуса.
6. Приложения неотрицательных матриц: числа Фибоначчи, популяция, модель Леонтьева.
7. Приложения неотрицательных матриц: марковский процесс (разбор случая с двумя состояниями), PageRank.
8. Матрица смежности графа, её свойства. Характерестический многочлен, спектр графа. Быстрый подсчёт числа маршрутов.
9. Матрица Кирхгофа, её свойства. Кратность нуля спектра, алгебраические дополнения матрицы Кирхгофа.
10. Матрица инцендентности. Связь с матрицей Кирхгофа.
11. Число остовных деревьев связного графа. Число связных компонент графа.
12. Бинарные отношения.
13. Лемма Бёрнсайда. Число непомеченных неориентируемых графов без петель с заданным числом вершин.
15. Инварианты графов. Полный инвариант.
16. Полиномиальные инварианты графов. Хроматические многочлен, многочлен Абеля.
17. Автоморфизмы и эндоморфизмы графов.
18. Свойства перманента.
19. Теорема Фробениуса об определителе. Теорема Маркуса-Минка.
20. Формула произведение кватернионов через скалярные и векторные части. Алгоритм вращения при помощи кватернионов.
21. Квазигруппы, лупы. Изотопность квазигрупп.
22. Алгоритм Дамма.
23. Квазигруппы в криптографии.
24. Тропическая алгебра. Идемпотентное полукольцо. Maxplus-алгебра: арифметика, матрицы.
25. Построение регулярного расписания. Вычисление собственного значения для тропических неразложимых матриц.
26. Heap-модель.
27. Некоммутативная криптография.
28. Тропическая криптография.
29. Криптосхема Месси-Омуры.
30. Схема Эль-Гамаля над группой точек эллиптической кривой.
31. Разложение матрицы в произведение двух симметричных (эрмитовых). Действительнозначная жорданова клетка.
32. Приложения LU-разложения и разложения Холецкого.
33. Псевдообратная матрица.
34. Сингулярное разложение и его приложения.
Тропическая алгебра. Построение регулярного расписания и другие приложения.
Бинарные отношения.
Автоморфизмы и эндоморфизмы графов. Инварианты графов.
Свойства перманента.
Квазигруппы в криптографии.
Алгоритм вращения при помощи кватернионов.
Некоммутативная криптография. Тропическая криптография.
Различные разложения матриц.
Вопросы:
1. Неотрицательные матрицы. Перестановочная матрица. Неразложимая матрица. Критерии неразложимости.
2. Сильно связный граф. Определение сильной связности графа через отсутствие собственных замкнутых подграфов.
3. Примитивные матрицы. Связь с графами.
4. Спектр, радиус матрицы.
5. Теорема Перрона-Фробениуса.
6. Приложения неотрицательных матриц: числа Фибоначчи, популяция, модель Леонтьева.
7. Приложения неотрицательных матриц: марковский процесс (разбор случая с двумя состояниями), PageRank.
8. Матрица смежности графа, её свойства. Характерестический многочлен, спектр графа. Быстрый подсчёт числа маршрутов.
9. Матрица Кирхгофа, её свойства. Кратность нуля спектра, алгебраические дополнения матрицы Кирхгофа.
10. Матрица инцендентности. Связь с матрицей Кирхгофа.
11. Число остовных деревьев связного графа. Число связных компонент графа.
12. Бинарные отношения.
13. Лемма Бёрнсайда. Число непомеченных неориентируемых графов без петель с заданным числом вершин.
15. Инварианты графов. Полный инвариант.
16. Полиномиальные инварианты графов. Хроматические многочлен, многочлен Абеля.
17. Автоморфизмы и эндоморфизмы графов.
18. Свойства перманента.
19. Теорема Фробениуса об определителе. Теорема Маркуса-Минка.
20. Формула произведение кватернионов через скалярные и векторные части. Алгоритм вращения при помощи кватернионов.
21. Квазигруппы, лупы. Изотопность квазигрупп.
22. Алгоритм Дамма.
23. Квазигруппы в криптографии.
24. Тропическая алгебра. Идемпотентное полукольцо. Maxplus-алгебра: арифметика, матрицы.
25. Построение регулярного расписания. Вычисление собственного значения для тропических неразложимых матриц.
26. Heap-модель.
27. Некоммутативная криптография.
28. Тропическая криптография.
29. Криптосхема Месси-Омуры.
30. Схема Эль-Гамаля над группой точек эллиптической кривой.
31. Разложение матрицы в произведение двух симметричных (эрмитовых). Действительнозначная жорданова клетка.
32. Приложения LU-разложения и разложения Холецкого.
33. Псевдообратная матрица.
34. Сингулярное разложение и его приложения.
Список источников
Хорн Р., Джонсон Ч., "Матричный анализ", М.: Мир, 1989
Гантмахер Ф.Р., "Теория матриц", М.: Наука, 1967
Асанов М. О., Баранский В. А., "Графы, матроиды, алгоритмы", Расин В. В.: Дискретная математика: — НИЦ РХД, 2001. — 288 с.
Гроссман И., Магнус В., "Группы и их графы", 1971
В. И. Арнольд, "Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов", М.: МЦНМО, 2002, 40 с
Прасолов В.В. "Задачи и теоремы линейной алгебры", МЦНМО, 2015, 579 с
Bernd Heidergott, Geert Jan Olsder, and Jacob van der Woude, "Max Plus at Work: Modeling and Analysis of Synchronized Systems: A Course on Max-Plus Algebra and Its Applications", Princeton Series in Applied Mathematics, 2005
Кривулин Н.К., "Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем", СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009, 256 с.
Лидл Р., Нидеррайтер Г., "Конечные поля" в 2-х томах, 1988
Куракин В.Л., Нечаев А.А., "Линейные коды и полилинейные рекурренты"
Болотов А.А., Гашков С.Б., Фролов А.Б., Часовских А.А., "Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Алгебраические и алгоритмические основы", М.: КомКнига, 2006, 328 с.
А. С. Кузьмин, В. Т. Марков, А. А. Михалёв, А. В. Михалёв, А. А. Нечаев,
"Криптографические алгоритмы на группах и алгебрах", Фундамент. и прикл.
матем., 2015, том 20, выпуск 1, 205–222
Белоусов В. Д. «Основы теории квазигрупп и луп» — М.: Наука, 1967. — 224с.
Минк Х., "Перманенты", Мир, 1982, 216 с.
М. Э. Казарян, "Тропическая геометрия", М.: МЦНМО, 2012. — 43 с.
Харари Ф., "Теория графов", 2003.
Зыков А.А., "Основы теории графов", М.: Наука, 1987. — 381 с.
Гантмахер Ф.Р., "Теория матриц", М.: Наука, 1967
Асанов М. О., Баранский В. А., "Графы, матроиды, алгоритмы", Расин В. В.: Дискретная математика: — НИЦ РХД, 2001. — 288 с.
Гроссман И., Магнус В., "Группы и их графы", 1971
В. И. Арнольд, "Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов", М.: МЦНМО, 2002, 40 с
Прасолов В.В. "Задачи и теоремы линейной алгебры", МЦНМО, 2015, 579 с
Bernd Heidergott, Geert Jan Olsder, and Jacob van der Woude, "Max Plus at Work: Modeling and Analysis of Synchronized Systems: A Course on Max-Plus Algebra and Its Applications", Princeton Series in Applied Mathematics, 2005
Кривулин Н.К., "Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем", СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009, 256 с.
Лидл Р., Нидеррайтер Г., "Конечные поля" в 2-х томах, 1988
Куракин В.Л., Нечаев А.А., "Линейные коды и полилинейные рекурренты"
Болотов А.А., Гашков С.Б., Фролов А.Б., Часовских А.А., "Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Алгебраические и алгоритмические основы", М.: КомКнига, 2006, 328 с.
А. С. Кузьмин, В. Т. Марков, А. А. Михалёв, А. В. Михалёв, А. А. Нечаев,
"Криптографические алгоритмы на группах и алгебрах", Фундамент. и прикл.
матем., 2015, том 20, выпуск 1, 205–222
Белоусов В. Д. «Основы теории квазигрупп и луп» — М.: Наука, 1967. — 224с.
Минк Х., "Перманенты", Мир, 1982, 216 с.
М. Э. Казарян, "Тропическая геометрия", М.: МЦНМО, 2012. — 43 с.
Харари Ф., "Теория графов", 2003.
Зыков А.А., "Основы теории графов", М.: Наука, 1987. — 381 с.
Дополнительная информация
Для понимания достаточно алгебры первых трёх семестров специалитета или годового курса алгебры для магистров.
Запись по почте viktoria.tenzina@math.msu.ru
День недели
пятница
Время
16:45-18:20
Аудитория
1226б
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1226б
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Введение в теорию ветвящихся процессов. Часть II
Название спецкурса на английском языке
Introduction to the theory of branching processes. Part II
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра математической статистики и случайных процессов]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2025/26
Список тем
Теория мартингалов и предельная теорема для надкритического процесса Гальтона-Ватсона
Применение теории ветвящихся процессов к системе массового обслуживания с одним прибором и неограниченной очередью
Процессы Гальтона-Ватсона с несколькими типами частиц
Процессы чистого размножения и явление “взрыва” популяции
Редуцированные процессы и задачи о расстоянии до момента рождения ближайшего общего предка
Ветвящиеся процессы в изменяющихся и случайных средах
Связь между процессом Гальтона-Ватсона и простым случайным блужданием
Процессы Крампа-Мода-Ягерса и теорема восстановления
Ветвящиеся процессы с пространственной динамикой (ветвящиеся случайные блуждания)
Применение теории ветвящихся процессов к системе массового обслуживания с одним прибором и неограниченной очередью
Процессы Гальтона-Ватсона с несколькими типами частиц
Процессы чистого размножения и явление “взрыва” популяции
Редуцированные процессы и задачи о расстоянии до момента рождения ближайшего общего предка
Ветвящиеся процессы в изменяющихся и случайных средах
Связь между процессом Гальтона-Ватсона и простым случайным блужданием
Процессы Крампа-Мода-Ягерса и теорема восстановления
Ветвящиеся процессы с пространственной динамикой (ветвящиеся случайные блуждания)
Список источников
В.А.Ватутин. Ветвящиеся процессы и их применения. Лекционные курсы НОЦ, Выпуск 8, МИАН, Москва, 2008.
В.А.Ватутин. Ветвящиеся процессы Беллмана-Харриса. Лекционные курсы НОЦ, Выпуск 12, МИАН, Москва, 2009.
В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1,2. Рипол Классик, 2013.
А.Н.Ширяев. Вероятность. Т.1,2. МЦНМО, Москва, 2007.
P.Haccou, P.Jagers, V.A.Vatutin. Branching Processes in Biology: Variation, Growth and Extinction of Populations. Cambridge University Press, Cambridge, 2005.
В.А.Ватутин. Ветвящиеся процессы Беллмана-Харриса. Лекционные курсы НОЦ, Выпуск 12, МИАН, Москва, 2009.
В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1,2. Рипол Классик, 2013.
А.Н.Ширяев. Вероятность. Т.1,2. МЦНМО, Москва, 2007.
P.Haccou, P.Jagers, V.A.Vatutin. Branching Processes in Biology: Variation, Growth and Extinction of Populations. Cambridge University Press, Cambridge, 2005.
День недели
понедельник
Время
16:45-18:20
Аудитория
1226б
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1226б
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.