Элементы теории динамических систем

Курс состоит из нескольких независимых тем и имеет целью показать разнообразие задач и методов теории динамических систем. Рассматриваются как конечномерные, так и бесконечномерные динамические системы. Часть излагаемого материала — классика, часть представляет собой результаты, полученные за последние 20 лет. Необходимый математический аппарат, находящийся за рамками стандартных курсов анализа, вводится по ходу изложения. Теория иллюстрируется примерами из механики.
1. Задачи, приводящие к системам с дискретным временем, отображение Пуанкаре на уровне интеграла энергии гамильтоновой системы, другие примеры. Инвариантная мера, эргодические теоремы Иосиды, Неймана и Биркгофа-Хинчина. Теорема Пуанкаре о возвращении. Эргодические системы, элементарные свойства эргодических систем. Оператор Купмана. Эргодичность треугольного отображения и сдвига по тору.
2. Другой путь возникновения динамического хаоса: расщепление сепаратрис, интеграл Пуанкаре-Мельникова.
3. Дискретные лагранжевы системы. Антиинтегрируемый предел.
4. Временные средние в другом контексте: бесконечномерная версия теоремы Массера о существовании периодических решений: периодические решения в одной линейной гиперболической системе теории упругости.
5. Ограниченные решения систем дифференциальных уравнений второго порядка. Маятник Уитни.
6. Фазовый поток системы ОДУ с гладкой правой частью: ω-предельное множество и его свойства: принцип Ла-Салля, аттракторы. Полугруппы преобразований метрического пространства: ω-предельное множество, аттракторы.
7. Дифференциальные уравнения с негладкой правой частью, дифференциальные включения, регуляризация по Филиппову. Периодические и ограниченные решения в задачах с сухим трением.