Элементы теории интегрируемых биллиардов

В теории интегрируемых гамильтоновых систем А.Т.Фоменко и его научной школой был
развит топологический подход, соединяющий идеи и результаты теории Морса (функции
с невырожденными особенностями), симплектической геометрии и топологии двумерных
и трехмерных многообразий. Для таких систем удалось, в частности, классифицировать
невырожденные особенности и построить инварианты (графы с некоторыми метками),
позволяющие сравнить две системы в неособых зонах энергии с топологической точки
зрения.
Мы напомним основные конструкции и результаты, и разберем, что происходит в случае
интегрируемых биллиардов – динамических систем с ударами, вдоль фазовых траекторий
которых сохраняются некоторые функции – их первые интегралы. Примерами таких
биллиардов являются биллиарды на плоских столах, ограниченных прямоугольником,
кругом, эллипсом или набором дуг эллипсов и гипербол с общими фокусами.
Планируемый список тем:
– Основы симплектической геометрии: симплектическое пространство и многообразие, их
базовые свойства, гамильтоновы векторные поля, скобки Пуассона. Примеры.

– Вполне интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы: слоение Лиувилля на их
фазовых пространствах и теорема Лиувилля.
– Интегрируемость биллиардов внутри прямоугольника, круга или кольца, эллипса, на
столах, ограниченных софокусными квадриками.
– Критические точки гладких функций и их невырожденность. Функции Морса и Морса-
Ботта. Невырожденные особенности интегрируемых гамильтоновых систем с одной и
двумя степенями свободы: 2-атомы и 3-атомы, особенности ранга 0. Теорема
классификации.
– Эквивалентности интегрируемых систем: топологические (грубая лиувиллевая и
лиувиллевая) и траекторная. Классифицирующие инварианты топологических
эквивалентностей. Построение, примеры вычисления.
– Биллиарды на круговых и софокусных плоских столах: адаптация общей теории,
вычисление инвариантов для биллиардов на таких столах.