Методы дифференциальной топологии

Вводная лекция и иллюстрация методов дифференциальной топологии на примере доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке.
Ревизия теоремы Сарда-Дубовицкого и теоремы Уитни
Следствие теоремы Уитни : существование римановой метрики ; аппроксимация
непрерывного отображения между гладкими многообразиями гладким отображением.
Отступление : размерность Лебега-Чеха и объяснение универсальности размерности 2m + 1 в теореме Уитни.
Регулярная трубчатая окрестность подмногообразия в R^q. Доказательство теоремы аппроксимации. Гомотопность отображений достаточно близких к данному.
Функция расстояния до точки в R^q. Фокальные точки для подмногообразия. Определение функций Морса и их существование.
Индекс и дефект изолированой критической точки гладкой функции. Лемма Адамара и лемма Морса. Структура критических точек функций Морса.
Примеры функций Морса : на проективных пространствах. Возмущение гладкой фунции на подмногообразии с помощью линейной функции. Плотность функций Морсва в пространстве гладких функций.
Существование векторных полей с изолированными особыми точками.
Теорема Риба. Однопараметрические группы диффеоморфизмов и векторные поля.
Доказательство теоремы Риба.
Ориентация: определения и примеры. Эквивалентность различных определений
ориентируемости. Ориентируемость односвязных многообразий.
Ориентация многообразий с краем. Двулистное ориентирующее накрытие.
Степень отображения над Z. Независимость от выбора регулярного значения. Примеры.
Степень mod2. Кобордизмы, инвариантность степени кобордантных отображений. Общие свойства степени : инвариантность при гомотопии, степень композиции
отображений.