Топологические свойства интегрируемых биллиардов и систем
Примеры подсчета инвариантов топологических биллиардов и биллиардных книжек.
Трехмерные многообразия и поверхности уровня энергии интегрируемых систем.
Интегрируемые софокусные и круговые биллиарды с потенциалом. Разделение
переменных. Методы построения бифуркационных диаграмм и описания их топологии.
Топологическое моделирование интегрируемыми биллиардами систем механики и геометрии.
Псевдоевклидовы аналоги систем механики. Некомпактные слоения и некритические бифуркации
В. В. Ведюшкина, В. А. Кибкало "Введение в теорию интегрируемых биллиардов: топологический подход", М: МАКС Пресс, 2025, 124 с.
А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, т. 1, 2, Изд. дом “Удмуртский университет”, Ижевск, 1999, 444 с., 447 с.
Спецкурс посвящен введению в теорию биллиардов - динамических систем с ударами (отражениями от границы). Вдоль траекторий системы сохраняется энергия и независимая с ней функция – первый интеграл системы. Такие системы называют интегрируемыми. В их число входят биллиарды внутри прямоугольника, круга или эллипса.
Данный спецкурс продолжает полугодовой спецкурс "Элементы топологии интегрируемых биллиардов" осеннего семестра, но многие темы будут рассказываться независимо или с повтором ключевых понятий и результатов.
В рамках курса будут описаны инварианты Фоменко-Цишанга интегрируемых систем, позволяющие устанавливать эквивалентность двух систем на уровне топологии слоений Лиувилля - замыканий решений системы. Такие инварианты будут вычислены для различных обобщенных биллиардов, в том числе систем топологических биллиардов и биллиардных книжек, биллиардов с потенциалом. В завершающем разделе курса топологический подход будет применен для анализа систем классической механики и их псевдоевклидовых аналогов.
Особых предварительных знаний от слушателей не предполагается - а для первичного ознакомления с материалом осеннего семестра, в целом, достаточно пособия лекторов [2], которое предоставляется ими по заявке слушателя.