Теория колебаний и фракционный анализ 1

Динамические системы и условие их консервативности. Фазовое пространство автономных систем. Структура фазовой плоскости систем второго порядка. Динамика совместного существования видов. Метод фазовой плоскости в задаче «хищник – жертва».
Бифуркации положений равновесия консервативных систем на фазовой плоскости. Задача о маятнике на вращающемся основании
Предельные циклы. Критерий Бендиксона-Дюлакаотсутствия замкнутых траекторий. Теория индексов Пуанкаре и законы совместного существования положений равновесия и замкнутых траекторий на фазовой плоскости
Поведение траекторий автономной системы вблизи периодических траекторий. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости и неустойчивости периодической траектории автономной системы
Поведение траекторий автономной системы вблизи периодических траекторий. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости и неустойчивости периодической траектории автономной системы
Поведение траекторий автономной системы вблизи периодических траекторий. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости и неустойчивости периодической траектории автономной системы
Грубые системы. Теорема Андронова-Понтрягина. Бифуркации предельных циклов на фазовой плоскости
Структура решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову линейных однородных систем. Системы с постоянными коэффициентами и устойчивость по первому приближению
Фундаментальная система решений уравнения свободных колебаний линейного осциллятора. Наискорейшее затухание колебаний. «Период» и логарифмический декремент затухающих колебаний. Свободные колебания осциллятора с сухим (кулоновым) трением.
Вынужденные колебания линейного осциллятора. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики
Матричная форма уравнений консервативных систем. Теория малых колебаний
Уравнения Лагранжа с множителями для систем с голономными стационарными связями. Малые колебания консервативной системы со связью и способ отыскания ее частот при известных частотах свободной системы. Изменение частот консервативной системы при наложении связей
Экстремальные свойства собственных частот консервативных систем. Теорема Фишера-Куранта. Изменение частот при изменении жесткости и инерционности системы. Теорема Релея. Отыскание параметров консервативной системы путем создания свободных малых колебаний
Влияние периодических сил на малые колебания консервативной системы. Принцип взаимности. Динамический гаситель колебаний, задачи виброзащиты и виброизоляции. Резонанс при вынужденных колебаниях. Отыскание параметров консервативной системы путем создания свободных и вынужденных малых колебаний
Линейные системы с периодическими коэффициентами. Теорема Флоке. Мультипликаторы Флоке и их свойства
Приводимость линейных систем с периодическими коэффициентами. Характеристические показатели. Теорема об устойчивости тривиального решения
Параметрические колебания. Уравнение Матье. Диаграмма Айнса-Стретта. Влияние вертикальной вибрации точки подвеса на устойчивость положений равновесия маятника. Моделирование начального этапа раскачивания качелей