Элементы топологии интегрируемых биллиардов
Элементы трехмерной топологии
Фундаментальная группа
Интегрируемые системы. Слоение Лиувилля и их особенности
Атомы и молекулы, топологические инварианты А.Т.Фоменко слоений Лиувилля
Примеры вычисления для модельных биллиардов
Биллиардная книжка: клеточный комплекс с перестановками
Реализация произвольной особенности алгоритмически задаваемой биллиардной книжкой
В. В. Ведюшкина, В. А. Кибкало "Введение в теорию интегрируемых биллиардов: топологический подход", М: МАКС Пресс, 2025, 124 с.
А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, т. 1, 2, Изд. дом “Удмуртский университет”, Ижевск, 1999, 444 с., 447 с.
Спецкурс посвящен введению в теорию биллиардов - динамических систем с ударами (отражениями от границы). Вдоль траекторий системы сохраняется энергия и независимая с ней функция – первый интеграл системы. Такие системы называют интегрируемыми. В их число входят биллиарды внутри прямоугольника, круга или эллипса.
При описании свойств интегрируемых систем и множества их возможных состояний (задаваемых положением частицы и вектором ее скорости) нашли применение многие классические и современные конструкции геометрии и топологии, включая теорию топологической классификации, развитую школой А.Т.Фоменко.
Стартуя с базовых примеров - биллиардов на плоских столах - мы введем ключевые понятия и конструкции. Затем мы перейдем к одному недавнему обобщению биллиардов на плоских столах – биллиардным книжкам. С их помощью удается реализовать (промоделировать) многие режимы движения и бифуркации (особенности), возможные в интегрируемых системах.
Особых предварительных знаний от слушателей не предполагается.
В весеннем семестре наш спецкурс планируется посвятить многочисленным обобщениям интегрируемых биллиардов внутри софокусных квадрик (например, путем добавления потенциала или магнитного поля), а также элеметнам общей теории интегрируемых систем, связям биллиардов с геометрией Нийенхейса.