Симметрические функции Макдональда, двойная аффинная алгебра Гекке и операторы Данкла
Название спецкурса на английском языке
Symmetric Macdonald functions, double affine Hecke algebras, and Dunkl operators
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН]
Семестр
Полгода (осень)
Семестр
Осень
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2025/26
Список тем
Кольцо симметричных функций. Элементарные симметричные функции, полные симметричные функции и степенные суммы Ньютона. Многочлены Шура.
Формулы Коши. Скалярное произведение на симметрических функциях. Ортонормированность многочленов Шура.
Полиномы Макдональда, скалярное произведение, ортогональность. Разностные операторы Макдональда, их производящая функция. Самосорпяженность. Вырождение в полиномы Джека.
Группы Кокстера и алгебры Гекке. Системы корней, группа Вейля, диаграммы Дынкина.
Полиномы Макдональда для произвольной системы корней. Теорема существования. Гипотеза о норме, постоянный член.
Скалярное произведение Чередника. Несимметричные многочлены Макдональда. Операторы Чередника-Данкла.
Рациональные алгебры Чередника и операторы Данкла. Приложения к многочастичным интегрируемым системам.
Аффинные группы Вейля и аффинные алгебры Гекке. Двойные аффинные алгебры Гекке и операторы Чередника.
Интегрируемые системы Калоджеро и Макдональда-Руйсенарса. Связь операторов Данкла и матрицы Лакса.
Эллиптические алгебры Чередника и эллиптические операторы Данкла. Приложения: эллиптическая система Калоджеро-Мозера, спиновая цепочка Иноземцева.
Эллиптические операторы Чередника и системы Руйсенарса. R-матричные обобщения.
Формулы Коши. Скалярное произведение на симметрических функциях. Ортонормированность многочленов Шура.
Полиномы Макдональда, скалярное произведение, ортогональность. Разностные операторы Макдональда, их производящая функция. Самосорпяженность. Вырождение в полиномы Джека.
Группы Кокстера и алгебры Гекке. Системы корней, группа Вейля, диаграммы Дынкина.
Полиномы Макдональда для произвольной системы корней. Теорема существования. Гипотеза о норме, постоянный член.
Скалярное произведение Чередника. Несимметричные многочлены Макдональда. Операторы Чередника-Данкла.
Рациональные алгебры Чередника и операторы Данкла. Приложения к многочастичным интегрируемым системам.
Аффинные группы Вейля и аффинные алгебры Гекке. Двойные аффинные алгебры Гекке и операторы Чередника.
Интегрируемые системы Калоджеро и Макдональда-Руйсенарса. Связь операторов Данкла и матрицы Лакса.
Эллиптические алгебры Чередника и эллиптические операторы Данкла. Приложения: эллиптическая система Калоджеро-Мозера, спиновая цепочка Иноземцева.
Эллиптические операторы Чередника и системы Руйсенарса. R-матричные обобщения.
Список источников
I.G. Macdonald, Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials. Vol. 12. American Mathematical Soc., 1998.
I. Cherednik, Double Affine Hecke Algebras Vol. 319. Cambridge University Press, 2005.
Kirillov Jr, A., Lectures on affine Hecke algebras and Macdonald’s conjectures. Bull. AMS 34, no. 3, 251-292, 1997.
Etingof, P., Calogero-Moser systems and representation theory. Vol. 4. European Mathematical Society, 2007.
Chalykh, O., Dunkl and Cherednik Operators. Encyclopedia of Mathematical Physics (Second edition), vol. 3, 309-327. Academic Press, 2025.
I. Cherednik, Double Affine Hecke Algebras Vol. 319. Cambridge University Press, 2005.
Kirillov Jr, A., Lectures on affine Hecke algebras and Macdonald’s conjectures. Bull. AMS 34, no. 3, 251-292, 1997.
Etingof, P., Calogero-Moser systems and representation theory. Vol. 4. European Mathematical Society, 2007.
Chalykh, O., Dunkl and Cherednik Operators. Encyclopedia of Mathematical Physics (Second edition), vol. 3, 309-327. Academic Press, 2025.
Дополнительная информация
Ссылка на страницу спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2635
День недели
среда
Время
15:00-16:35
Аудитория
Внешняя площадка
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.