Устойчивость и бифуркация в задачах механики
Название спецкурса на английском языке
Stability and bifurcation in problems of mechanics
Пререквизиты
Математический анализ, алгебра, линейная алгебра и геометрия, аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения, теоретическая механика
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра теоретической механики и мехатроники]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Основные понятия теории устойчивости стационарных систем. Метод функций Ляпунова.
Критерий Рауса-Гурвица и метод D-разбиений.
Устойчивость положений равновесия консервативных голономных систем. Теорема Лагранжа и понятие о ее обращении. Коэффициенты устойчивости и степень неустойчивости по Пуанкаре.
Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость положений равновесия. Теоремы Кельвина-Четаева, вековая и временная устойчивость.
Устойчивость стационарных движений консервативных голономных систем с циклическими координатами. Теорема Рауса и понятие о ее обращении.
Устойчивость относительных равновесий обобщенно-консервативных голономных систем. Соответствие относительных равновесий и стационарных движений и соотношение условий их устойчивости.
Ветвление положений равновесия и стационарных движений. Бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла.
Стационарные движения динамических систем с первыми интегралами. Теорема Рауса и понятие о ее обращении.
Стационарные движения диссипативных динамических систем с первыми интегралами. Теоремы об устойчивости, частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости.
Устойчивость точек либрации в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.
Устойчивость относительных равновесий и стационарных движений физического маятника с вращающейся осью подвеса.
Устойчивость стационарных движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случаях Эйлера и Лагранжа.
Устойчивость относительных равновесий спутника на круговой орбите.
Устойчивость и бифуркация стационарных движений гантели Белецкого.
Устойчивость положений равновесия консервативных голономных систем. Теорема Лагранжа и понятие о ее обращении. Коэффициенты устойчивости и степень неустойчивости по Пуанкаре.
Устойчивость и бифуркация стационарных движений волчка «тип-топ».
Устойчивость и бифуркация инвариантных множеств в задаче Горячева-Чаплыгина.
Критерий Рауса-Гурвица и метод D-разбиений.
Устойчивость положений равновесия консервативных голономных систем. Теорема Лагранжа и понятие о ее обращении. Коэффициенты устойчивости и степень неустойчивости по Пуанкаре.
Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость положений равновесия. Теоремы Кельвина-Четаева, вековая и временная устойчивость.
Устойчивость стационарных движений консервативных голономных систем с циклическими координатами. Теорема Рауса и понятие о ее обращении.
Устойчивость относительных равновесий обобщенно-консервативных голономных систем. Соответствие относительных равновесий и стационарных движений и соотношение условий их устойчивости.
Ветвление положений равновесия и стационарных движений. Бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла.
Стационарные движения динамических систем с первыми интегралами. Теорема Рауса и понятие о ее обращении.
Стационарные движения диссипативных динамических систем с первыми интегралами. Теоремы об устойчивости, частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости.
Устойчивость точек либрации в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.
Устойчивость относительных равновесий и стационарных движений физического маятника с вращающейся осью подвеса.
Устойчивость стационарных движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случаях Эйлера и Лагранжа.
Устойчивость относительных равновесий спутника на круговой орбите.
Устойчивость и бифуркация стационарных движений гантели Белецкого.
Устойчивость положений равновесия консервативных голономных систем. Теорема Лагранжа и понятие о ее обращении. Коэффициенты устойчивости и степень неустойчивости по Пуанкаре.
Устойчивость и бифуркация стационарных движений волчка «тип-топ».
Устойчивость и бифуркация инвариантных множеств в задаче Горячева-Чаплыгина.
Список источников
Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1946.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.
Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988.
Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: УРСС, 1998.
Карапетян А.В. Устойчивость и бифуркация движений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2020.
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд-во ХМЩ, 1892.
Красовский Н.Н. Некоторые задачи устойчивости движения. М.: Физматлит, 1959.
Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.
Зубов В.И. Устойчивость движения. М.-А.: Высшая школа, 1973.
Румянцев В.В., Озиранен А.С. Устойчивость и стабилизация движения по части переменных. М.: Наука, 1987.
Смейл С. Топология и механика // Успехи математических наук. 1972. Т. 27. № 2. С. 77-120.
Джурн Э. Инно и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979.
Маркеев А.П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. М.: РХД, 2009.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.
Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988.
Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: УРСС, 1998.
Карапетян А.В. Устойчивость и бифуркация движений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2020.
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд-во ХМЩ, 1892.
Красовский Н.Н. Некоторые задачи устойчивости движения. М.: Физматлит, 1959.
Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.
Зубов В.И. Устойчивость движения. М.-А.: Высшая школа, 1973.
Румянцев В.В., Озиранен А.С. Устойчивость и стабилизация движения по части переменных. М.: Наука, 1987.
Смейл С. Топология и механика // Успехи математических наук. 1972. Т. 27. № 2. С. 77-120.
Джурн Э. Инно и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979.
Маркеев А.П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. М.: РХД, 2009.
Дополнительная информация
В спецкурсе излагаются основы математической теории устойчивости стационарных систем (теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости, теорема Четаева о неустойчивости, теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости, теорема Красовского о неустойчивости, теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости по первому приближению). Обсуждаются проблемы теории устойчивости движения механических систем (теоремы Лагранжа, Рауса, Кельвина-Четаева и их модификации) и основы теории бифуркации (ветвление решений, рождение предельных циклов, бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла и т.п.). Общие положения иллюстрируются многочисленными примерами из динамики точки и твердого тела в различных силовых полях.
День недели
пятница
Время
12:30-14:05
Аудитория
1405
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1405
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.