Фундаментальные проблемы аналитической механики
Вариационный принцип Гамильтона. Вариационный принцип Мопертюи-Якоби.
Принцип Гаусса, уравнения Аппеля.
Теорема Нетер и ее обобщения для неголономных и неконсервативных систем.
Циклические координаты. Метод Рауса понижения порядка и эффективный потенциал.
Динамика тяжелого твердого тела с неподвижной точкой – классические задачи.
Канонические уравнения Гамильтона. Принцип Гамильтона в фазовом пространстве.
Лемма об аннуляторе канонической 2-формы. Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре-Картана.
Канонические преобразования, метод Гамильтона-Якоби.
Маятник с быстро колеблющейся точкой подвеса.
Теорема Лиувилля об интегрируемости уравнений Гамильтона в квадратурах.
Переменные действие-угол. Поиск переменных действие-угол для систем с одной степенью свободы.
Теоремы Вейля. Элементы КАМ теории.
Основные теоремы прямого метода Ляпунова в теории устойчивости.
Инвариантная мера с гладкой плотностью. Теорема Лиувилля. Теорема Пуанкаре о возвращении.
Теорема Якоби об интегрируемости систем с инвариантной мерой и ее обобщение.
Теорема Колмогорова о динамике на двухмерном торе.
Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 2008.
Биркгоф Дж. Динамические системы. Ижевск: НИЦ "РХД", 1999.
Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.-Л.: Гостехиздат, 1946.
Аппель П. Теоретическая механика. В 2 т. М.: Физматгиз, 1960.
Уиттекер Э. Аналитическая динамика. Ижевск: НИЦ "РХД", 1999.
Якоби К. Лекции по динамике. М.-Л.: ОНТИ, 1936.
В спецкурсе излагаются основные принципы (принцип Даламбера-Лагранжа, принцип Гамильтона, принцип Гаусса, принцип Мопертюи-Лагранжа-Якоби и принцип Гамильтона в форме Пуанкаре) и уравнения аналитической механики (уравнения Лагранжа, Рауса, Гамильтона, Аппеля, Якоби, Уиттекера). Излагаются фундаментальные проблемы гамильтоновой механики (канонические преобразования, теория Гамильтона-Якоби, переменные действие-угол, теория возмущений). Обсуждаются проблемы теории устойчивости движения механических систем, в частности вопросы понижения порядка, построения эффективного потенциала, определения стационарных движений и инвариантных множеств и условий их устойчивости. Общие положения иллюстрируются примерами из динамики точки и твердого тела в различных силовых полях. Также обсуждаются основные методы и теоремы КАМ теории.