Ещё не назначена

Повторение основных приемов интегрирования. Вычисление интегралов при помощи рядов, сумм и пределов.
Сходимость несобственных интегралов.
Эйлеровы интегралы. Интегралы Дирихле, Фруллани, Пуассона. Вычисление интегралов при помощи дифференцирования или интегрирования по параметру.
Использование преобразования Лапласа и преобразования Фурье при вычислении интегралов.
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Приложения.
Решение дифференциальных и интегральных уравнений.
Вычисление интегралов при помощи вычетов.

Определяющие соотношения линейно упругого тела. Материальные константы упругого тела. Связанные и несвязанные среды. Уравнение притока тепла. Уравнение теплопроводности.
Виды упругой симметрии. Общий вид анизотропии. Транверсальная анизотропия. Ортотропия. Изотропное упругое тело.
Закон Гука для изотропного тела в прямой и обратной формах. Физический смысл упругих постоянных и область их изменения. Статические, квазистатические и динами-ческие постановки начально-краевых задач теории упругости. Теорема единственности статической задачи. Принцип суперпозиции.
Уравнения Ламе. Постановка задачи в перемещениях. Уравнения Бельтрами – Ми-челла. Классическая постановка, постановка Победри в напряжениях и их эквивалент-ность.
Кинематически и статически допустимые поля. Стационарная точка функционала. Вариационный принцип Лагранжа.
Формулы Бетти и их применение. Теорема взаимности. Действие сосредоточенной силы в неограниченном упругом пространстве (задача Кельвина). Тензор перемещений и тензор напряжений Кельвина. Формула Сомильяны.
Представление Галёркина. Оператор Галёркина. Решение Кельвина.
Фундаментальные решения второго рода. Матрица источников. Двойная сила без момента. Центр дилатации. Двойная сила с моментом. Центр вращения.
Действие массовых сил в неограниченном пространстве. Задача теории упругости для полупространства. Представление Треффца.
Внутренняя и внешняя задача о шаре в R^3 и R^2 (задача Ламе).
Контактная задача Герца. Гипотезы. Математическая постановка задачи. Анализ размерностей. Решение задачи Герца. Случаи поверхностей вращения и взаимодействия упругого тела с жёсткой плоскостью.
Задача о соударении упругих тел. Нахождение времени соударения и максималь-ного сближения.
Техническая теория балок. Изгиб балки. Гипотеза плоских сечений. Упругая линия балки.
Растяжение-сжатие стержня. Равнопрочные сечения. Статичеки определимые и неопределимые системы.
Кручение стержня. Функция напряжений. Формула Прандтля. Кручение стержня эллиптического сечения.
Плоская задача теории упругости. Плоское деформированное состояние. Функция Эйри. Плоское напряжённое и обобщённое плоское напряжённое состояния.
Применение теории функций комплексной переменной. Формулы Лява. Ком-плексные потенциалы. Формула Колосова – Мусхелишвили. Задача Кирша. Концентрато-ры напряжения.
Динамические задачи теории упругости. Теорема Гельмгольца. Волновые уравне-ния для потенциалов. Два типа волн в неограниченной упругой среде. Плоские волны. Решение Даламбера. Гармонические волны. Волновой вектор, частота колебаний, фазовая скорость. Сферические и цилиндрические волны.
Упругопластическое тело. Активный и пассивный процессы. Теория малых упру-гопластических деформаций Ильюшина. Универсальная кривая материала. Теорема единственности.
Условия пластичности Мизеса – Генки и Треска – Кулона – Сен-Венана. Их гра-фические представления. Поверхность текучести.
Задача об упругопластическом шаровом слое. Радиус упругой зоны.
Вязкоупругое поведение материалов. Элементарные модели и их структурные со-отношения. Явления ползучести и релаксации. Модели Фойгта и Максвелла. Тело Кель-вина. Общее дифференциальное соотношение вязкоупругой модели

Тригонометрические суммы по простым числам.
Распределение дробных частей многочлена в случае, когда аргумент
пробегает простые числа.
Оценки тригонометрических сумм в проблемах Гольдбаха и ВарингаГольдбаха.

Примеры использования методов граничных элементов в науке и технике. Сравнение с альтернативными подходами решения задач математического моделирования.
Гипотеза сплошности. Понятие макроскопически малого объема. Постановка задач механики сплошной среды.
Законы сохранения массы, импульса и полной энергии в дифференциальной форме.
Краевые задачи, сводимые к системам уравнений эллиптического типа.
Математическое моделирование потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости при помощи интегральных уравнений.
Решение задач электростатики и стационарного распространения тепла методами граничных уравнений.
Задачи течения линейно-вязкой несжимаемой жидкости. Сила сопротивления обтекаемых объектов.
Задачи линейной теории упругости и механики хрупкого разрушения. Концетраторы напряжений, трещины, асимптотическое разложение Вильямса.

Предмет изучения. Основные понятия. Основные гипотезы и принципы. Сфера применимости материалов курса.
Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и постановка основных задач.
Поверхностные сингулярные интегралы. Интегрирование в смысле главного значения. Интегральные уравнения Фредгольма.
Свойства потенциалов простого и двойного слоя.
Фундаментальные решения эллиптических дифференциальных уравнений.
Прямые и непрямые методы граничных элементов.
Решение однородного двумерного уравнения Лапласа методами граничных элементов.
Интегралы типа Коши. Свойства и алгоритм построения на их основе решения плоских краевых задач.
Потенциалы уравнений Ламе. Сведение задач статики теории упругости к краевым задачам ТФКП.

Вариационное уравнение Седова и его применение для вывода уравнений движения сплошных сред. Термодинамика. Краевые и начальные условия.
Применение вариационного подхода для вывода соотношений на разрывах. Случай сильных и слабых ударных волн.
Тензоры, определяющие анизотропию сплошной среды. Групповая классификация, симметрия сплошных сред.
Модели простых анизотропных жидкостей, внутренняя энергия, диссипация энергии. Устойчивость среды. Волны Римана.
Релаксационные уравнения ориентации для простых анизотропных сред, термодинамические ограничения.
Модели жидких кристаллов. Симметрия, энергия упругости ориентации. Нематические, смектические и холестерические жидкие кристаллы.
Вывод уравнения эволюции ориентации для различных моделей жидких кристаллов. Инерция ориентации.
Связь между моделями различных анизотропных сред (простые жидкости, жидкие кристаллы, магнитные жидкости).
Граничные условия для жидких кристаллов: сильное и слабое сцепление. Поверхностная энергия Рапини–Папулара, тензор поверхностных натяжений.
Взаимодействие ориентируемых сред (жидких кристаллов) с электромагнитным полем. Переход Фредерикса.
Поверхностные волны и сдвиговые течения в жидких кристаллах и исследование их устойчивости.
Течения в жидких кристаллах при наличие электромагнитных полей и их устойчивость.

Вариационное уравнение Седова и его применение для вывода уравнений движения сплошных сред. Термодинамика. Краевые и начальные условия.
Применение вариационного подхода для вывода соотношений на разрывах. Случай сильных и слабых ударных волн.
Тензоры, определяющие анизотропию сплошной среды. Групповая классификация, симметрия сплошных сред.
Модели простых анизотропных жидкостей, внутренняя энергия, диссипация энергии. Устойчивость среды. Волны Римана.
Релаксационные уравнения ориентации для простых анизотропных сред, термодинамические ограничения.
Модели жидких кристаллов. Симметрия, энергия упругости ориентации. Нематические, смектические и холестерические жидкие кристаллы.
Вывод уравнения эволюции ориентации для различных моделей жидких кристаллов. Инерция ориентации.
Связь между моделями различных анизотропных сред (простые жидкости, жидкие кристаллы, магнитные жидкости).
Граничные условия для жидких кристаллов: сильное и слабое сцепление. Поверхностная энергия Рапини–Папулара, тензор поверхностных натяжений.
Взаимодействие ориентируемых сред (жидких кристаллов) с электромагнитным полем. Переход Фредерикса.
Поверхностные волны и сдвиговые течения в жидких кристаллах и исследование их устойчивости.
Течения в жидких кристаллах при наличие электромагнитных полей и их устойчивость.

Общая система уравнений движения сплошной среду. Модель изотропной линейно-вязкой жидкости, закон Навье–Стокса. Модель несжимаемой вязкой жидкости. Начальные и граничные условия. Работа вязких напряжений и диссипация энергии в вязкой жидкости.
Основные положения теории размерности. Пи-теорема. Числа Рейнольдса, Фруда, Эйлера, Струхала и т.д. Подобие течений вязкой жидкости. Автомодельные решения.
Понятие о пограничном слое в вязкой жидкости. Вывод уравнений Прандтля для пограничного слоя. Граничные условия.
Интегрирование уравнений Прандтля для пограничного слоя. Задача Блазиуса.
Интегрирование уравнений пограничного слоя в общем виде, уравнение Мизеса.
Отрыв пограничного слоя на поверхности тел. Применимость уравнений плоского пограничного слоя на криволинейной поверхности.
Задача о течении затопленной струи в вязкой жидкости.
След за телом в вязкой жидкости. Вычисление профиля скорости с помощью уравнений Прандтля.
Методы управления пограничным слоем в вязкой жидкости. Обтекание пластинки в случае отсоса жидкости.
Теоремы импульсов (уравнение Кармана) и энергии для пограничного слоя. Различные однопараметрические методы теории ламинарного пограничного слоя.
Устойчивость ламинарных течений вязкой жидкости. Устойчивость двухслойного течения вязкой жидкости.
Турбулентные течения. Критическое число Рейнольдса. Осредненное и пульсационное движения. Правила осреднения, влияние турбулентности на сопротивление, кризис сопротивления.
Уравнения Рейнольдса для турбулентного движения. Гипотеза Буссинеска.
Теплопередача и диффузия при турбулентном движении.
Рассеяние энергии в турбулентном течении.
Теория пути смешения Прандтля для турбулентного течения. Формулы Прандтля и Кармана.
Двухслойная модель пристеночной турбулентности. Логарифмический профиль скоростей.
Свободная турбулентность. Задача о смешении струи большого диаметра с окружающей покоящейся жидкостью. Задача о развитии по времени слоя раздела.
k-epsilon-модель для турбулентного движения.

Трёхмерные возмущения уравнений Навье-Стокса. Моды Орра и моды Сквайера. Несамосопряжённость операторов Орра-Зоммерфельда и Рэлея. Модельная задача, описывающая немодальный рост.
Алгебраическая (немодальная) неустойчивость. Оптимальные возмущения. Поведение энергии возмущений устойчивых и неустойчивых течений. Физические механизмы немодального роста.
Физические механизмы немодального роста (продолжение). Механизм Орра и lift-up механизм. Сравнение с экспериментами: полосчатые структуры, bypass-сценарий перехода к турбулентности.
Сопряженный оператор Навье-Стокса и его свойства. Асимптотика немодального роста при больших временах. Использование сопряжённого оператора для эффективного поиска оптимальных возмущений.
Отклик течения на внешнее периодическое возмущение. Спектр и псевдоспектр. Резольвентный анализ. Связь с немодальным механизмом роста возмущений.
Влияние слабой непараллельности течения. Параболизованные уравнения устойчивости. Связь с ВКБ-решениями.
Абсолютная и конвективная неустойчивость. Асимптотика поведения произвольного возмущения при больших временах. Результаты расчётов для некоторых течений.
Глобальная неустойчивость неоднородных течений при наличии двух точек поворота. Связь с локальной абсолютной неустойчивостью. Примеры.
Глобальная неустойчивость течений в областях конечных размеров. Критерий неустойчивости. Связь с локальной абсолютной неустойчивостью. Примеры.
Численные методы поиска собственных значений линеризованных уравнений Навье-Стокса. Локальный подход, ортонормализация. Глобальный подход, метод коллокаций.
Численные методы поиска оптимальных возмущений и резольвентного анализа. Сингулярное разложение резольвенты. Оптимальное воздействие и оптимальный отклик. Обзор результатов расчётов для некоторых течений.

Ламинарные и турбулентные течения. Точные и приближённые решения уравнений Навье-Стокса (течения Пуазейля, Куэтта, пограничный слой Блазиуса, след за телом, слой смешения).
Возмущения течений жидкости. Вывод уравнений Орра-Зоммерфельда и Рэлея. Теорема Сквайера.
Невязкая теория устойчивости. Необходимые условия неустойчивости: теорема Рэлея (о точке перегиба) и Фьёртофта.
Контрпример достаточности условий Рэлея и Фьёртофта. Теорема Ховарда о полукруге.
Регулярное и сингулярное решение уравнения Рэлея; критическая точка.
Точные решения уравнения Рэлея для некоторых профилей скорости (тангенциальный разрыв, слой смешения, течения Куэтта, треугольная струя). Решение задачи с начальными условиями.
Решение задачи с начальными условиями (продолжение). Непрерывный и дискретный спектр. Достаточность исследования собственных мод для изучения устойчивости.
Вязкая теория устойчивости. Собственные значения уравнения Орра-Зоммерфельда при малых R. Достаточные условия устойчивости.
Собственные значения при больших R. Локальная асимптотика решений вне окрестности точки поворота (ВКБ-решения).
Собственные значения при больших R (продолжение). Асимптотика решений в окрестности точки поворота. Функция Эри и её свойства. Линии Стокса. Правило обхода критической точки. Трёх- и пятипалубная асимптотическая структура решения. Построение нейтральной кривой.
Результаты расчётов спектра для некоторых течений (течение Пуазейля, пограничный слой Блазиуса). Сравнение вязкой и невязкой теорий. Сравнение с экспериментами при малом уровне естественной турбулентности. Стадии перехода к турбулентности.