Вариационные методы и неравенства в механике сплошной среды

История вопроса. Вариационные принципы теоретической механики. Уравнения Эйлера. Условия на разрывах. Преобразования Галилея. Диссипация энергии. Связи.
Вариационные формы механики сплошной среды. Варьирование многомерных функционалов. Сильные и слабые разрывы, характеристики. Симметрии. Модели идеального газа и несжимаемой жидкости.
Принципы термодинамики. Вязкий теплопроводный газ. Пребразование Лежандра, термодинамические потенциалы. Неголономные вариационные уравнения. Базовое вариационное уравнение Л.И. Седова для необратимых процессов. Уравнение энергии в интегральной форме.
Элементы теории конечных и непрерывных групп. Операторы бесконечно малых преобразований, коммутаторы, алгебры Ли. Инвариантность функций и тензорных полей. Правильные многогранники, решетки и тела вращения.
Преобразования производных. Инвариантность дифференциальных уравнений. Симметрии уравнений газовой динамики. Инвариантные и частично-инвариантные решения. Основные классы инвариантных решений в гидромеханике. Потенциальность.
Инвариантность функционалов. Теорема Нетер. Автомодельные задачи газовой динамики, интеграл Л.И.Седова. Симметрии неголономных вариационных задач.
Общая методика построения простых моделей сплошных сред. Группы эйлеровых и лагранжевых симметрий. Классификация групп аффинной симметрии. Примеры идеального газа, нелинейной теории упругости и жидкокристаллических сред с вмороженной ориентацией.
Термодинамическая устойчивость как гиперболичность уравнений при отсутствии диссипативных процессов. Форма Грина и слабые разрывы. Связь с лагранжевой симметрией среды. Устойчивые типы ориентируемых жидкостей.
Введение ориентации молекул как внутренней степени свободы. Уточненные модели жидких кристаллов.
Классические интегральные неравенства, выпуклые функции. Связь с вариационными задачами. Оценки закона движения ударной волны в одномерных задачах газовой динамики. Задача о взрыве с противодавлением.
Гравитационное поле в ньютоновской механике. Интеграл действия. Уравнение Пуассона. Разрывы гравитационного поля. Тензор напряжений и плотность энергии.
Элементы электродинамики. Уравнения Максвелла. Силы Кулона и Лоренца. Напряжения Максвелла. Уравнение энергии поля.
Идеальная магнитная гидродинамика, вмороженность магнитного поля. Электрогидродинамика. Поляризующиеся и намагничивающиеся жидкости.
Преобразования Лоренца. Специальная теория относительности. Динамика материальной точки. Кинематика сплошной среды. Релятивистская гидродинамика. Тензор энергии-импульса идеального газа. Условия на разрыве.
Релятивистская форма электродинамики. Вариационный принцип, тензор энергии-импульса поля.
Гравитационное поле как геометрия пространства-времени. Общая теория относительности. Модель гравитирующего газа. Проблема определения тензора энергии-импульса гравитационного поля.