Мартингалы и стохастическое исчисление. Часть 2: непрерывное время

Стохастический базис и случайные процессы с непрерывным временем. Расширение фильтрации, приводящее к обычным условиям. Неразличимые случайные процессы.
Моменты остановки и их свойства (непрерывное время). σ-алгебры событий, предшествующих моменту остановки.
Измеримая, прогрессивно измеримая, опциональная σ-алгебры: определения и основные свойства.
Теорема об измеримости дебюта прогрессивно измеримого множества (без доказательства). Частные случаи теоремы (с доказательствами).
Предсказуемая σ-алгебра и порождающие ее системы множеств и процессов.
Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы с непрерывным временем: определения и примеры (выпуклые преобразования, процесс обобщенной плотности).
Процессы с независимыми приращениями: два определения и их взаимосвязь.
Теорема о существовании непрерывной справа модификации супермартингала.
Основные теоремы теории мартингалов с непрерывным временем: теорема о преобразовании свободного выбора, максимальные неравенства (вероятности выхода за уровень) и максимальные -неравенства.
Локальные мартингалы с непрерывным временем. Теорема о том, что неотрицательный локальный мартингал является супермартингалом.
Примеры неотрицательных локальных мартингалов, не являющихся мартингалами (, где равномерно распределена на , замена времени в геометрическом броуновском движении, процесс обратной величины к норме трехмерного броуновского движения, выходящего не из нуля).
Интегрируемые возрастающие процессы. Натуральность и предсказуемость.
Компенсаторы и оценки их моментов.
Процессы локально интегрируемой вариации и локальные мартингалы локально интегрируемой вариации.
Разложение Дуба-Мейера субмартингала класса (D) (без доказательства). Вывод в качестве следствия разложения Дуба-Мейера произвольного субмартингала.
Квадратично интегрируемые мартингалы. Квадратическая характеристика.
Устойчивые подпространства квадратично интегрируемых мартингалов: определение и теорема об устойчивости ортогонального дополнения.
Примеры устойчивых подпространств квадратично интегрируемых мартингалов. Чисто разрывные квадратично интегрируемые мартингалы. Теорема об их структуре (без доказательства).
Стохастический интеграл по квадратично интегрируемым мартингалам от простых функций и его свойства.
Стохастический интеграл по квадратично интегрируемым мартингалам (общий случай) и его свойства.
Стохастический интеграл по семимартингалам и его свойства.
Винеровский и пуассоновский процессы.
Формула Ито.
Формула интегрирования по частям.
Стохастическая экспонента и ее свойства. Теорема единственности.
Стохастическая экспонента и ее свойства. Теорема существования.
Геометрическое броуновское движение как стохастическая экспонента от броуновского движения со сносом.
Стохастические дифференциальные уравнения. Теорема существования и единственности.